Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
х2 Qp ~ Q-
_ ip Чгд
x,y,z (°2 + \)(а2 + \) а, Ь, с
Е
QB d2U Ж
'dQsdQq dQq
где суммирование по s не предполагается, можно избавиться от вторых
производных от П. Тогда получим
v2n =
УШ 2 2 2 у, 8 |
^ dQp I a2 + Ар 62 + Ар с2 + Ар -^ Хр - Xq )
122
Глава V
где У означает, что член, для которого р = q, опускается. Отсюда следует,
что П будет гармонической функцией, если Ai, А2, ¦ • ¦, Ато являются
корнями системы то уравнений
1
1
1
а? + А2 62 + А2 с2 + А2
| '
а2 + Ai Ь2 + \\ с2 + Ai "J Ai - Xq
т
1,1,1, 4
9=1
Л2 - А д
= О, О,
(28)
1
1
1
ь V'---
а2 + Хт Ь2 + Хт с2 + Хт ^=1 Хт - Хд
0.
Эти нелинейные уравнения в общем случае будут иметь несколько различных
решений, каждому из которых будет соответствовать эллипсоидальная
гармоническая функция предполагаемой формы.
Теперь рассмотрим многочлен L(А) степени то, определённый таким образом:
т
ВД = П(А-Ав),
9=1
и который, как мы покажем, является многочленом Ламэ, связанным с
вышеупомянутой эллипсоидальной гармонической функцией. Обозначив штрихами
дифференцирование по А, имеем
?'< А) = ? произведений то - 1 сомножителей А - Ai, А - А2, ..., L"( А) =
2? произведений то - 2 сомножителей А - Ai, А - А2, ....
Отсюда, взяв А = Хр, видим, что L" (Хр) / L' (Хр) равно удвоенной сумме
обратных значений Ар - Ад, Ар -А2, ..., Хр-Хт. Член Хр - Хр, конечно, не
появляется, так что
L"(XP) _ 0 ^-v 1
L'(XP
9=1
Ар Хд
(Чт^р)-
Отсюда, если А имеет любое из частных значений Ад, А2, ..., Хр, заданных
уравнениями (28), которые делают функцию П гармонической, то
Эллипсоидальный гармонический анализ
123
выражение
1 1 1 L"(X)
------1-----------1--- h 2--
а2 + А Ь2 + А с2 + Л L'{X)
обращается в нуль. Умножение на множители, входящие в знаменатель,
означает (поскольку L есть многочлен), что выражение
(а2 + Х)(Ъ2 + Л)(с2 + А)Х"(А) + |{ ]Г (Ъ2 + А)(с2 + A)}i'(A)
а, Ь, с
есть многочлен по А, который сводится к нулю всегда, когда А принимает
любое из значений Ад, Аг, ..., Ат. Соответственно оно должно обладать
множителями А - Ад, А - Аг, ..., А - Ато, образующими, по определению,
многочлен L. Кроме того, оно имеет степень то + 1 по А, а коэффициентом
высшего члена, очевидно, является
1 1
то(то - 1) + ^ ' Зпт = то(то + -).
Отсюда остающийся множитель должен иметь вид
т(т + ^ j А + К
или, если то = ^п,
^п{п + 1)А + К,
так что L является просто полиномиальным решением дифференциального
уравнения
(a2 + \){b2 + \)(c2 + \)L"+±{J2(b2 + \)(c2 + \)}L/ = {|гг(гг + 1)А +
1б}х, что в точности есть уравнения Ламэ.
17. Гармонические функции других типов
Аналогичную операцию прямого дифференцирования можно применить к функциям
оставшихся трёх типов. Конечный результат будет тот же, однако небольшие
изменения в уравнениях вида (27) при этом всё же появятся.
124
Глава V
Функцию Ламэ общего вида в этих случаях можно записать как
т
(А + о2)"1 (А + Ъ2)^ (А + с2)кз Д (А - Ар), (29)
Р=1 1 где показатели степени щ, "д, кз всегда имеют значения либо 0, либо
^ ¦
Уже было показано, что все Ад, А2, ..., Ато являются вещественными и
различными, неравными -а2, -Ь2, -с2. Степень п соответствующей
гармонической функции задана следующим образом:
1 I ,
-п = то + Ki + "д + кз,
и когда к\, К2, кз определены, число функций Ламэ специальной формы
устанавливается и всегда равно то + 1 (таблица III).
Если мы продолжим ту же процедуру дифференцирования с целью нахождения
необходимых условий, чтобы выражение
х У2 ) га 2 "2 2
11 Z
было решением V2E = 0, то уравнения, соответствующие уравнениям (28), во
всех случаях окажутся имеющими вид
Kl +1 К2 + 1 1 (tm)х
"7>--\---^ 75--\---1-5---\ ^ ^ 5-- 0, (30)
я -Т Ар b -Т Ар с -Т Ар Ар - \q
где, как и в уравнении (29), к\, "д, кз имеют значения 0 или а
удовлетворяющие этим требованиям значения Хр определяются решениями
этих уравнений.
Теперь мы можем доказать теорему Стилтьеса о расположении и распределении
нулей функции Ламэ данного порядка и указанных типов.
18. Теорема Стилтьеса
Для данных к\, "д, кз множество т + 1 функций Ламэ L{А) данного порядка
можно расположить в такой последовательности, что рациональная часть
функции с номером г из этого множества имеет г - 1 нулей между -а2 и -Ь2,
а оставшиеся т - г + 1 нулей - между -Ъ2 и -с2.
Эллипсоидальный гармонический анализ
125
Чтобы доказать это, допустим, что рi, ip2, ¦ ¦ ¦, Pm - вещественные
переменные, удовлетворяющие неравенствам
J - а2 ^ ^-62 для р = 1, 2, ..., г - 1,
I 2 2 ' '
1-6 ^ <рр ^ -с для р = г, г + 1, ..., т.
Рассмотрим произведение
т
р = П^!(r)2 + ^рГ1+1/41&2 + ^r2+1/V + ^рГ3+1/4}
Р=1
Тогда функция Р обладает следующими свойствами.
1) Она равна нулю, когда любая (или любые) переменная (рр имеет
наименьшие или наибольшие значения.
2) Она существенно положительна, когда все переменные рр являются
неравными и отличаются от -а2, -Ь2 или -с2. Более того, Р является
непрерывной и ограниченной функцией в области (31), т. к. каждый из
отдельных множителей ограничен и непрерывен в рассматриваемой области.
