Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку такая случайная функция принимает независимые значения в
несовпадающих точках, то все величины, снабженные знаком +, будут
статистически независимы от величин со знаком -(первые определяются
значениями потенциала на'полу-интервале (0, L), вторые-на (-L, 0))*).
Поэтому усреднение
(13.8) по реализациям потенциала приводит к формуле
fL(Elt E2) = 2\(z2-z1)P1(L, zlt za)P0(L, -zlt ~z2)dz1dz2, (13.10)
где
PQ (x, zlt z2) - <6 (zx-z_ (x, Ex)) 8 (z2-z. (x, ?a))>,
Pi (x, zlt z2)=<W(y (x) 8 (zx - z_ (дс, Ег)) 8 (z2~z_ (лг, ?",))>.
Устремляя теперь в (13.10) L к бесконечности, приходим к такой формуле
для функции f(Ex, Е2):
f(Ex,E2) = 2^(z2-zx)P0(-z1, - z2) Рх (zlf z2)dzx dz2, (13.11)
где P0(zXt z2)-стационарная совместная плотность вероятностей случайных
величин г_ (х, Ех) и z_ (х, Е2)-логарифмических производных волновой
функции ф_ (х, Е) при Е=ЕХ, Е2, а Рх (zlf z2)- стационарное среднее
величины WB {х> Ех, ?2), т. е., по существу, матричного элемента скорости
между состояниями с энергиями Ех и Е2, причем это среднее вычисляется при
условии, что ' z_ {х, Ех) и z_ (х, Е2) равны zx и z2 соответственно.
Формула (13.11), позволяющая вычислять проводимость одномерной системы с
помощью фазового формализма, была впервые получена в [9]. Наш вывод
(13.11) несколько отличается от первоначального.
Выведем еще формулу для мнимой части а(ю), определяющей диэлектрическую
проницаемость системы. Для этого нужно указать такую аналитическую в
верхней полуплоскости комплексной частоты Q = o-fi8, 8^0, функцию,
вещественная часть которой при 8 - 0 совпадает с /(?, ?-f-co).
Один из возможных путей такого аналитического продолжения состоит в
следующем. Обозначим через G{x, х'\$) функцию
*) Получаемые ниже после такого предположения формулы (13,11) и (13.21)
могут быть без труда обобщены на случай конечно-марковских потенциалов
v(x).
171
Грина (<?-Н)-1 стационарного уравнения Шредингера, отвечающую комплексной
энергии $ - ЕТогда, как нетрудно убедиться,
F (Е, Е -\-G)) - 'Re§'E(E -\-(x>-{-iO),
где
^E{S)^(2ni)-1(^(E~iO, ?)-Г(? + Ю, <?)),
а
[230 {х''д*'• ^ д0 &г) -
Подставляя теперь представление (11.41), (11.42) для G(x',x\$) в эту
формулу, найдем, что
<F {<?i, S2) -
- ? [я &_+ С1+) (С,- -С,+)Г1["1--L-) Пх>-
-(b+-?,+)^i> ]Ul,
где ?д± (*) = ф'± (х)/ф± (*) при <8^<Вау а= 1, 2, а №(±}(л:) определена
формулой (13.9). Усреднение этой формулы дает
Здесь функции ?±(х) - те же, что и в (11.42), и поэтому, рассуждая так
же, как при выводе (11.45), можем написать, что
j(E, <?) = <Г? (<?)> =
=| <e (Z-+ г,+) (г,. -?2_) Щ1 W>.
Таким образом, мы получили необходимое аналитическое продолжение функции
f (?, Е -j- 0) в область комплексных частот, и потому полная проводимость
cr(Q) при Й = (о4-*6 равна
cr(Q) = ne2f(EP, ?Р + ю + ?$)• (13.4')
Отсюда следует, что мнимая часть проводимости при вещественных частотах
есть
1ша((о) = 2ле2?^=%Р0(-г1( z2)P1(z1, z^dz^z^dz^ (13.12) JZ2+z2
где ^ обозначает, что соответствующий интеграл понимается в
смысле главного значения. Эта формула показывает, что не только
вещественная, но и мнимая часть проводимости выражается через функции
P0(zlt z2) и Р1(г1, г2).
Переходя к применениям полученных формул, отметим прежде всего, что
(13.11) уже позволяет понять, почему в одномерной неупорядоченной системе
adc = 0 [106].
172
Действительно, согласно (13.4) равенство статической проводимости нулю
эквивалентно исчезновению при совпадающих аргументах функции f(EitEt)t т.
е. равенству f(E, Е)~0. Но функция Р0 (Zj, z2), являясь совместной
плотностью вероятностей г- (х* Ег) и (*i Е2), должна при Ег = Е2 иметь
вид б (гг-г2)Р(гг), поскольку при Ег = Е2 случайные величины z_ (х, Ег) и
z_ (х, Е2) совпадают. Кроме того, согласно (13.9) W{P (х; Е, Е) - 0.
Значит, при совпадающих энергиях подынтегральное выражение в (13.11)
представляет собой произведение 6(2* - г2) на функцию, обращающуюся в
нуль при Zi - z2, и потому тождественно равно нулю. n Следует, однако,
заметить, что, проводя это простое рассуждение, мы фактически изменили
порядок предельных переходов: вместо того, чтобы в соответствии с (13.4),
(13.5) сначала устремить L к бесконечности, а затем Ё2 к Elt был
использован обратный порядок. Поэтому, чтобы сделать указанное
рассуждение более убедительным, напишем уравнение Фоккера - Планка для
совместной плотности вероятностей Р (х; 2*, г2, Hi7) случайных величин z_
(х; EJ, z_ (х; Е2), WlP (х; Ег, Е2).
Для этого, основываясь на вытекающих из определений (11.4) и (13.9)
величин zt± (х) = z± (х, Et) и W^(x) динамических уравнениях
JLz!± = -z*±-E1-vW, (13.13а)
fx ~ (*± -*.±) -(*±+*,*) WW, (13.136)
составим по правилу (10.22) -(10.23) соответствующее тройке переменных
zi±, W(i> уравнение Фоккера -Планка:
дх = Saz}(^) + ^[((Z1 + Z2) ^ - (г1 - z2))P] + ^ (az7 + |^)
t=i
где Zi - z^+Ei, i- 1, 2. Отсюда нетрудно получить уравнения и для функций
Ра(х; гх, z2), а-0, 1:
Ра Ч* г2) = J WaP (х; zt, z2, W) dW.
Стационарные варианты этих уравнений, которым как раз и удовлетворяют
