Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
иЛУ) = С,К .с/***).
Во второй области существенна только вторая производная, и поэтому здесь
as (У)= С&У С3.
Наконец, в третьей области можно пренебречь "потенциалом" х/4е"ад, и
тогда
us (у)= С*, sin (sy + 5).
Сшивая теперь эти три решения с учетом нормировки на б (s~s') и того
факта, что s^O, найдем, что в интересующей нас области малых s
us (у) = s УШ Ко (72^)-Отсюда и из (13.48), (13.36) находим, что
р.=5щ;(|7тГе*р(-17г). (1349>
где
Л - i j ds Jdr, ^ j *U pL K. (jjL) exp (- jL-ihs
0 0 0
Можно показать [112], что Л - 1/32п7/*, а это и приводит к формуле
(13.46). Отметим, что таким методом асимптотическое
182
поведение ?) находится весьма просто с помощью тради-
ционных в теоретической физике рассуждений. Нетривиальные выкладки
необходимы здесь лишь для того, чтобы найти численный множитель.
Итак, мы установили, что волновой пакет, отвечающий частице, которая в
начальный момент была локализована в точке а: -О, при больших временах,
?^>т- lJ2k, приобретает форму (13.44) с "хвостами", убывающими по закону
(13.46). Что же касается расплывания такого пакета при малых временах, то
оно может быть получено обратным по к и со преобразованием Фурье формулы
(13.34) и имеет вид
(:2nk)~1 ехр(- I л: |//л) - г/2 [6 (л:-Щ) + б (х + Щ)], (13.50)
где v - 2k.
Отметим, что корреляционную функцию (13.44) можно было бы вычислять и
несколько иным способом, обобщающим тот, который применялся в п. 12.2 для
доказательства дискретности спектра. Этот способ оказывается менее
громоздким, поскольку в нем фигурирует одно значение энергии и поэтому не
нужно совершать предельный переход Ег -> ?а. В этом способе такой
предельный переход совершается с самого начала, т. е. исходным пунктом
является формула (13.16) для р"(х\ Е). Эту формулу, рассуждая так же, как
при выводе (13.19), можно преобразовать к виду
Р. (*; Е) = (б (г. (*; Е) z+ (*; ?)) у+(, Е)) ,
где величины у± (х; Е) и т)_ (х; Е) определены соотношениями (13.7) и
т|_(х; ?) = ф_(0, ?)/ф_(х, ?), = - г_г]_
и берутся при одном значении энергии ?. Далее, используя тождество
оо
д-1 at #
0
и статистические свойства случайного потенциала, последнюю формулу можно
преобразовать следующим образом (ср. с (13.11) и (13.21)):
оо 00
/?"(*; ?)= J d% I dz А (?, -г)?*(?, г), (13.51)
о
где
А (?, г) =* <ехр (- 1у_ (х)) 6 (г_ (х) - г)>,
Вх (С. г) = <ехр {-<У- (х)) б (г_ (х) - г) г]_ (х)>,
183
так что #"(?, г) = Л(?, г). Для этих функций можно обычным образом
составить уравнения типа Фоккера -Планка. Если в этих уравнениях перейти
к угловым переменным и затем выполнить усреднение по фазе, то окажется,
что
р(х- ?)--о(0-С^ = 0,
/ = _п +<Lli2d±A ь =а
дх д? J* о0 - а.
Первое из этих уравнений совпадает с преобразованием Лапласа уравнения
(13.37), так что a{Q = R(t) из (13.41). Аналогичным образом можно
убедиться, что преобразование Фурье функции b по х есть Q(?) из (13.39).
Что же касается получающейся из (13.51) формулы для рх{х\ Е), то она
после некоторых преобразований также приводится к виду (13.44).
Из определения величины А (?, г) и описанного способа вывода уравнения
для а (?) ясно, что оно является преобразованием Лапласа по у
усредненного по фазе уравнения для стационарной совместной плотности
вероятностей фазы и нормировки у (я) = = #sinacp (см. (11.8)). Поэтому
совпадение уравнения для a(Q и преобразования Лапласа уравнения (13.37)
для плотности вероятностей разности фаз не следует считать удивительным,
поскольку согласно (11.8) (см. также (12.10)) разность фаз при близких
энергиях как раз пропорциональна нормировочному интегралу.
Заметим, что упомянутое уравнение для стационарной плотности вероятностей
нормировок имеет вид
д
ду
1
у 4=-
ду
= 0.
ду
Решением этого уравнения является функция (ср. с (13.37))
^(?) = -^exР (""у)* У>°-
Поэтому, в полном соответствии с общими результатами § 12, у случайной
величины у конечны только моменты <г/б> порядка б, меньшего единицы (см.
(12.20) и следующий за этой формулой текст).
Опишем теперь процедуру вычисления низкочастотной'асимпто-тики активной
проводимости одномерной неупорядоченной системы в квазиклассической
области (13.23), т. е. получим формулу (13.2). Будем исходить из точного
выражения (13.11). Тогда, рассуждая в основном так же, как при получении
(13.30) из (13.21), придем к следующему выражению для Re а (со) в
терминах медленной переменной -б -разности фаз -б2, отвечающих двум
близким
184
значениям энергии E±~EF и ?2 = ?Р-{-а) (ох^Яр):
я/2
Re а (со) - j Р0(-ftJP^ftJsinftdft. (13.52)
- я/2
Здесь P0(ft)-стационарная плотность вероятностей разности фаз, входящая
также в формулу (13.30) для фурье-образа коррелятора плотность-плотность
и определяемая соотношениями (13.32) и (13.33), а
P1(") = <V1(L)6("-9(L))>|i",
где
Я
Vj_ (х) = [гДх) г2 (х)]"1 5 Г! (х') r2 (xr) sin ft (х') dx\
о
Гу(х)-те же, что в (13.27).
Уравнение для Рг (ft) получается по той же схеме, что и уравнение
(13.316) для Р2 (ft), и имеет вид
