Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
плотности состояний, использованных в гл. II *), эта формула, как и
(11.40), билинейна по плотности вероятностей фазы волновой функции.
Подобные билинейные формулы, естественно возникшие при описанном в начале
§ 9 "двустороннем"
*) Исключение составляет формула (5.8), имеющая такую же природу.
(11.41)
где
G (0, 0; f) = (?+ (L, <?) + ?_ (L, tf))-\
(11.42)
а
?± (х, <?) = я|4 (х, <?)/ф± (х, ?) (связь ф1(2(*, ?) с Ф±(х, $) см. в
(11.5)). Положим Е± (X, <?) - z± - iby±.
Из уравнения (ср. с (11.7))
t'± = -&-? + ",
которому удовлетворяет ?± (х, <?), найдем, что
(11.43)
г± - - г± + $2У± - Е v, У±--2у±г± + 1.
(11.44а)
(11.446)
157
способе построения состояний одномерных систем, могут быть получены не
только для одночастичных, но и для ряда бинарных величин и оказываются
весьма удобным средством для их вычисления и исследования (см. §§ 12,
13). Кроме того, нетрудно получить обобщение этих формул и на случай
более коррелированных потенциалов, чем белый шум (см., например, формулу
(12.15)).
Из (11.41) и (11.42) вытекает также и сама формула (11.10), поскольку
О (к; €) = <0 (х. 0; tf)> dx = 01 -45)
где величины U± (лг, <?) определены так же, как в (11.11). Полагая в этом
соотношении 6 = + 0 и беря от результата мнимую часть, придем к (11.10).
Аналогично
Re G (к; Е + Ю) = 2iР0 (Ч) dzt dz2. (11.46)
Таким образом, мы видим, что вещественная часть функции Грина при
вещественной энергии выражается через те же самые функции P0(z) и Px(z)
из (11.13), что и мнимая.
В заключение отметим следующее. Как показывают численные расчеты а (к, Е)
[9], значения этой величины почти во всем интервале энергий, исключая
область Е < 0, ] Е \ ^>D2/\ весьма хорошо совпадают со значениями,
даваемыми приближенным выражением, полученным в первых порядках теории
возмущений. В то же время рассмотрение высших порядков [106]
свидетельствует о появлении в одномерном случае новых особенностей во все
более сложных диаграммах, содержащих пересечения примесных линий. Однако
эти особенности, по-видимому, не имеют отношения к делу, поскольку, как
мы убедились, в содержащемся в области применимости таких разложений
интервале энергий ?^>D2/3 выражение (11.34) для усредненной функции Грина
тривиально.
§ 12. Спектральные свойства типичных реализаций
бесконечных одномерных неупорядоченных систем
Этот параграф носит несколько более математический характер, чем другие в
настоящей главе. В п. 12.1 прежде всего покажем, что в каждой реализации
случайного потенциала (т. е. с вероятностью 1) спектр бесконечной
одномерной неупорядоченной системы не может заполнять целиком никакого
интервала оси энергий *). Этот факт справедлив во всех случаях, когда с
вероятностью 1 имеет место достаточно быстрый рост огибающей
*) Математическая формулировка этого утверждения такова: с вероятностью 1
спектр указанных систем не имеет абсолютно непрерывной компоненты.
Впервые утверждение подобного типа было доказано в [94] (см. также [34] и
[95]).
158
волновой функции с фиксированным в некоторой точке значением
логарифмической производной. В п. 12.2 будет установлено основное
утверждение этого параграфа-дискретность (точечность) с вероятностью 1
спектра одномерного уравнения Шредингера на бесконечном интервале в
случае, когда потенциал является марковской случайной функцией; п. 12.3
посвящен доказательству математического факта, на который существенно
опираются построения п. 12.2 (равномерная ограниченность по длине
интервала момента порядка меньшего единицы нормировки собственной
функции).
12.1. Отсутствие абсолютно непрерывной компоненты спектра.
Для простоты рассуждений докажем сформулированное утверждение для
полубесконечной системы*). Совокупность энергий, составляющих спектр
одномерного уравнения Шредингера на интервале (0, оо) с условием в нуле
вида ф(0) cos а - ф'ДО) sin а = О, можно определить следующим образом.
Рассмотрим сначала отрезок (О, L) с граничным условием в точке L вида
ф(L)cosр - ф' (O)sinp- .0, и пусть Еп1 и фп?(л;) - уровни энергии и
нормированные на единицу состояния такой конечной системы. Состояния фи?
образуют полную систему, и поэтому
L(y) = &(x - y) (12.1)
П
(Фиг (*) можно всегда выбрать вещественными). Так как при L оо может
появиться непрерывный спектр, собственные функции которого ненормируемы,
то удобно перейти от ф"?(лг) к%п1(х), равным х(х,Еп1), где X (х, Е) -
решения уравнения Шредингера, удовлетворяющие условиям X (0) - sin а, %'
(0) = cos а. В терминах этих функций соотношение полноты (12.1)
перепишется так:
$ Х(*. Е)%(у, E)4(E)dE = b(x-y), (12.2)
где
Ч (Е) = 2 8 (Е - Еп1) (I Xs (JC. Еп1) dx)
п \0 /
есть плотность на оси энергий распределения нормировок собственных
функций.
Если теперь устремить L к бесконечности, то окажется [96], что предельное
соотношение полноты также будет иметь вид (12.2), но вместо vL{E) в нем
будет стоять предельная весовая функция
v (Е) = lim v? (Е).
1_ оо
*) В этом случае рассуждение технически несколько проще, так как не нужно
