Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
(б)), что при v -> 0 функции Р0 (й) и Рг (¦&) имеют порядок v, если v >
0, и более высокий порядок, если v < 0. Поэтому, вводя переменную г] =
ft/v и соответствующие плотности вероятностей, можем переписать выражение
(13.35) следующим образом (P0t 2 (n) =vP0,2 W):
g" (к, ю) = jdr, j rill, . (13-36)
0 0
где
P.-(i)*P")' = 0, (13.37)
a Рг (л) удовлетворяет уравнению
Ч2 ^- 0 -2ч) ^ + Ш"Р* = - 1*Р- О3-38)
Поскольку теперь Р0{х\) и РгСп) не содержат v = (ox, то коэффициент при
V-1 в формуле (13.36) с точностью до множителя равен преобразованию Фурье
по х искомой функции /?" (х\ Е).
Решение уравнения (13.38) удобно искать, перейдя к преобразованию Лапласа
функций Р2(т)) и Р0('Ч):
Q (0 = $ e-ПР, (л) dr,. R (i) = j e-^tP, fo) dr,.
o - 0
179
Непосредственная проверка показывает, что интегрируемое в нуле и
исчезающее на бесконечности решение уравнения
|(р-f-)= - №
которому, в силу (13.38), удовлетворяет Q(?)" имеет вид [103]
Q(?) = 2t-,/.('/ll(21^) ]
4 2V~l
2 У~^ \
- К" (2 Vl) ^ S/" (?) Кл d) dl j, (13.39)
0 /
р = (1+4Ыл)1/., (13.40)
где 1ц(х), Kfi(x) - цилиндрические функции [71].
В записи выражения (13.39) учтено, что согласно (13.37) и [71]
R(Z) = 2VlKl (2 V~i). (13.41)
Подставляя Q(?) и R (?) из (13.39) и (13.41) в (13.36) и совершая
некоторые преобразования, получим [103], что
рт(х; J [<Р(") + Ф(-K)]elkxd,Ky (13.42)
- 00
ф (к) =* 4$ dxxKi (х) 1ц (х) 5 dy у К ц (у) Кх {у). (13.43)
О х
Функция ф (к) аналитически продолжается в верхнюю полуплоскость и имеет
там в силу (13.40) точку ветвления к = 1)А1л, Поэтому интеграл в формуле
(13.42) можно преобразовать в интеграл по берегам уходящего вверх от этой
точки разреза, что после использования ряда соотношений из [71] для
интегралов от специальных функций позволяет привести эту формулу к виду
[107]
р* (*; Е) =*
= зШгЬз11Я,1 ехр (_i"r |Х|) (13'44)
о
Нетрудно убедиться, что интегрирование правой части этой формулы по х
дает (2я?)-1, т. е. плотность состояний в этой области энергий. Согласно
сформулированному в п. 4.2 критерию (4.7) это означает, что при всех
энергиях из рассматриваемой области (13.23) спектр является чисто
дискретным. Таким образом, мы получили еще одно, независимое от
изложенного в § 12, доказательство локализации всех состояний в
одномерной неупорядо-
180
ченной системе, правда, на этот раз только в области (13.23), в которой,
однако, этот факт представляется наиболее удивительным.
Из (13.44) следует, что величина раз(О, Е) (вероятность того, что частица
через бесконечное время останется в окрестности точки лт = 0) равна
л.<Р; ?>=i(tm).
&Рво С*', Е)
dx
_ __1 1_
х=± 0 3ll 2nk '
Второй момент функции р"(х; Е), пропорциональный, как следует из ее
определения, электронной поляризуемости состояния с энергией ?, есть
4?(3)/*(2яА)-\ (13.45)
где ? (я) - ^-функция Римана. Кроме того, при х^>1л
(1а46>
Таким образом, функция рт (х\ Е) убывает экспоненциально с расстоянием,
как и следовало ожидать на основании обсуждения локализации состояний
одномерных неупорядоченных систем, проведенного в §§ 9, 10. Видно,
однако, что связь между свойством экспоненциального поведения отдельных
волновых функций, о котором шла речь в указанных параграфах, и убыванием
усредненных характеристик неупорядоченных систем не является
непосредственной. Действительно, декремент убывания квадрата огибающей
волновой функции согласно (10.126) равен /д1 - D/2E, а декремент убывания
/^(х; Е) оказывается равным (4/л)-1. С аналогичной ситуацией мы
встретимся и дальше -в случае средней статической проводимости образца
конечных размеров и среднего коэффициента прохождения волны через
случайный барьер (см. формулы (13.67) и (29.31)).
Обратим еще внимание на то, что асимптотическая формула
(13.46) может быть получена и независимо от весьма сложных выкладок,
приведших к (13.44), с помощью соображений, аналогичных тем, которые
используются в квантовой механике при исследовании рассеяния частиц малой
энергии [36, 116]. Сделаем для этого в уравнении (13.38) замену
переменных
т) = ^, 7WF,
/ - e-vi* exp{-г12е-у),
в результате чего оно перейдет в следующее уравнение:
&F (е-*У .1 . , \ " /ЛР"
dy* (4+4 tKl*)F- f{y)
181
Решение этого уравнения будем искать в виде разложения по собственным
функциям us (у) оператора
L -- dVdy2 + 1/*<г* + V4> (13.47)
собственные значения которого обозначим через p^ = 1/4 + sa. Имеем
Р(х, У) =
= ехр( - -^-L) jdsexp( - sz^-"jus(y) f dy' --0-(¦ • (13.48)
0 - 00
Из этого выражения уже видно, что рж{х\ Е) при больших х убывает по
крайней мере как ехр(-|х|/4/л). Для того чтобы найти предэкспоненциальный
множитель, определяемый собственными функциями с малыми s, разобьем
интервал изменения у на три области: </^1, 1 и s~x<^у. В первой из
этих
областей в уравнении
- ^ + 1/4e"2X = s2ws
для собственных функций оператора L из (13.47) при s<^ 1 можно пренебречь
правой частью, и тогда, согласно [71], ограниченное на -оо решение
получившегося уравнения есть
