Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
k2-~ <о/2 YH =г <о/2? ^ 2k,
и, значит, как ясно из (13.24), разность фаз <р2-cpj будет изменяться
гораздо медленнее, чем их сумма. Поэтому, переходя к укороченным фазам =
cpf - kx и оставляя в (13.21), как и при получении (11.25) из точной
формулы (11.13), наиболее медленно осциллирующие члены, получим, что
Я/2'
g"(K,<o) = (2A")--Re j cos^.-ejP.f-
-Я/2
(13.25)
где
Ро (Ъ, ^t) - <6 (Ъ - Ъ (Е^ L)) 6(%-$(E2,L))>\l=00,
Р, (К ад = <V,6 (вх-"I,)) "(", - ¦& (?" L))> liss.0,
Vt(x)~
X
- [ri (*) rst (*)]_1 e~iK<-x~L> J cos ($! - ft2) Гг (x') f, (xr)
eiK^x'~L)dxr,
0
(13.26)
?Цх) = ^_(х, Ej) + kj~Зф!!(x, Ej). (13.27)
176 '
Совокупность переменных ftt, ft2 и V2 удовлетворяет следующей системе
динамических уравнений (ср. с (10.32) и (11.28)):
-3
(13.28)
^-cos(e,-",)-"w,+?[/; (">),+/; (",)],
где qj - kj-k и //(ft) - (4?/)_1 (v2e~2i(r)+vle2i(r)).
Введем переменные % - У2 (fti + fta) и ft = ftx - ft2. Тогда уравнения
(13.28) с учетом предполагаемых неравенств (13.1) между параметрами
перейдут в следующие:
з?-=?1-?. + 31П "-/'(х). (13.29)
=cos d - IkV,+Vs cos 0 ¦ f' (%).
Составив по правилу (10.22) -(10.23) отвечающее этой динамической системе
уравнение Фоккера-Планка, можно убедиться, что его решение не зависит от
%. Но для такого решения формула (13.25) упрощается следующим образом:
Я/2
gM (к, о>) = (2я&2)-1 j Р0 (- ft) Re Р2 (ft) cos ft dft, (13.30)
-Я/2
где Я0(-&)-плотность распределения вероятностей разности фаз ft, а P2(ft)
есть результат усреднения второй из входивших в (13.25) функций по
полусумме фаз %. Уравнения для этих функций можно получить из упомянутого
уравнения Фоккера - Планка для плотности вероятностей тройки ft, V2 путем
интегрирования его по V2 в случае P0(ft) и интегрирования по V, после
умножения на V2 в случае Рг (ft). Однако в целом эта процедура
оказывается несколько громоздкой. Поэтому мы воспользуемся приемом,
аналогичным тому, который в § 10 был применен при вычислении величины
у(Е) и с помощью которого соответствующее "сокращение описания" может
быть произведено на динамическом уровне. Упрощенные динамические
уравнения выглядят следующим образом:
d•& 00 D . ой . sinft,
dx 2k 4k*Sm
^ = cos $ - iKV2 cos2 ft + (v2 - vl),
а получающиеся из них уже путем неоднократно использованной
177
процедуры уравнения для Р0 и Р2 имеют вид (v = cox, т = lj2k):
v^0-^(sin2^'P<') = 0' <13-31а>
sin2 ft - (v-sin 2ft)^p-sin2 Ъ-Р2 + ШЛР2 = - /Лсоз^-Я0.
(13.316)
Уравнение (13.31a) допускает очевидный первый интеграл:
vP°-55'(sin2 ^^ ^ ' (13.32)
(Здесь учтено условие нормировки для Р0.) Это уравнение может быть решено
в квадратурах:
Р0(ft) = - ехр- (~ v-ct-g-^- (е (-ft) f + 0 (ft) f + с Рctg ^'dV.
sin2# { i L J/2 $ I)
(13.33)
Что касается уравнения для Б2С0)> то его не удается решить в общем виде.
Поэтому мы рассмотрим два предельных случая: v^> 1 и V<^1.
Рассмотрим сначала случай больших частот, т. е. v^>l. Из
вида уравнений (13.31) вытекает, что коэффициенты разложения
их решений в ряды Фурье имеют тем более высокий порядок по v-1, чем
больше их номер. Естественно поэтому взять в качестве приближенных
выражений для Р0 (ft). и Р2 (-0) первые члены из рядов Фурье, т. е.
Ро(-0) = Л, Яа (ft) = С sin ft-f Б cos ft.
Подставляя эти выражения для Р0(^) и в уравнения (13.31), получим, что
л J_ Ft ____________1
л ' D~~ л (й)т)2+(1- ШЛ)*'
г /л tot
Л ((ОТ) 2 -j- (1 - мс/л) 2 ¦
Используя получающиеся таким образом выражения для Р0 и Р2 и (13.30),
найдем корреляционную функцию
S. (".<") = 4? (13-34)
Из этой формулы и определения функции g (к, со) вытекает, что
?Г (к col - l - t/cfj
ё УЧ - (2л^)2 (0)тг)2_у (1 _ 1К/л-)2 •
Отметим, что поскольку g (к, со) связана с одной из корреляционных
функций, то желательно по возможности более правильно передать ее
полюсную структуру. В связи с этим при нахождении коэффициентов Б и С мы
использовали процедуру обрыва
178
ряда Фурье и последующего точного решения возникающих для них уравнений,
которая в некотором смысле аналогична вариационному методу, а не
разложению по степеням v-1.
Наиболее интересным является случай малых частот, v<^l, поскольку именно
в этом пределе, как было указано выше, находится характеризующая
локализацию функция (х; Е) (т. е. * преобразование Фурье по к
коэффициента при б (to) в асимптотическом выражении gM (к, to) при to-
*0). Однако с точки зрения используемого нами метода решения удобнее
находить эту величину как коэффициент при ш"1 в вещественной части gB (к,
со) функции g(fC, со).
Для того чтобы это можно было делать, напишем, пользуясь
(13.17) и рассуждая в существенном так же, как при выводе (11.46) и
(13.12), выражение для gB (к, со):
л/2
g.(K, to) =¦¦ (2nkT1 § cos * M rf",. (13.35)
-л/ 2
Как мы увидим в дальнейшем, в рассматриваемой области частот основную
роль, так же как и при вычислении плотности состояний в присутствии
периодического потенциала (учет процессов переброса), играют малые б ~
v. Нетрудно убедиться,
используя уравнения (13.316), (13.32) (или явную формулу (13.33) для Я0
