Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому при достаточно низких температурах, когда основной вклад в
теплоемкость дают малые частоты, оказывается, что
ДС(Г)/С0(Г)"|-6с, Т<^Т" = е>мУТ"
<,-*>•/.. Г~Г0, с = -па>.
По поводу разложения (22.1), (22.2) необходимо заметить следующее. Во-
первых, коэффициент при пт в (22.1) выражается только через
характеристики групп примесей, включающих не более чем т центров во всем
объеме системы, так что для вычисления указанного коэффициента необходимо
решать только "задачу т тел". Ситуация здесь такая же, как в вириальном
разложении, т-й коэффициент которого также выражается через энергию
взаимодействия группы только из т частиц.
Во-вторых, подобно вириальному разложению, (22.1) не является разложением
по степеням потенциала. Фактически полученные формулы показывают, что в
рассматриваемом случае существуют две возможности слабых возмущений
исходного гамильтониана Н°. Первая из них - это малые возмущения в
обычном смысле, т. е. малые и(г); вторая - малые "в среднем" возмущения,
т. е. малые концентрации. Поскольку, как можно убедиться, в формуле
(22.1) коэффициент при пт при разложении по степеням потенциала будет
содержать все его степени, начиная с т-й, то метод разложения по
концентрации является в данном случае более общим и отвечает определенной
перегруппировке и частичному суммированию ряда обычной теории возмущений.
Любое приближение, отвечающее этой последней, получается из
соответствующего числа первых членов ряда (22.1) путем дополнительного их
разложения по степеням потенциала. Так, для получения второго порядка
теории возмущений достаточно удержать лишь члены, квадратичные по
концентрации, и т. д.
22.2. Дискретная модель с диагональным беспорядком. Сказанное становится
особенно наглядным в случае F (Н) - (Е - Н)-1 и операторов Uy первого
ранга в дискретной системе, которому соответствует разложение функции
Грина модели сильной связи (1.6) и изотопических примесей замещения
(1.24), (1.25). Ниже рассмотрена первая из этих моделей, однако все
получаемые формулы, с очевидными изменениями, верны и для второй, что
будет продемонстрировано в гл. VI. Таким образом, мы считаем, что
н= S #?,-"1 т><п| + 2 IM л>< п| = H° + U, (22.8)
п, т п
256
где Un - независимые случайные величины, принимающие значения U > 0 и О с
вероятностями с и 1 -с. Очевидно, невозмущенный гамильтониан Н°
диагоналей в импульсном представлении, и соответствующий ему закон
дисперсии мы будем обозначать
Е(к) (Я(к) = ЕЯ>''") .
Напишем ряд теории возмущений для усредненной функции Грина:
<G> = G° + G° <U> G° + G° <UG°U> G° -f ... (22.9)
Если
U-2un> U" = (/nPn, P" = |nxn|, (22.10)
подставить в (22.9), то станет ясно, что в сколь угодно далеких членах
этого ряда, которые все имеют вид
^ <.Uni ¦ • • ?/nm>G°PniG°... G°PnwG°,
nt, .... П/я
будут встречаться средние <?/п, • * • UПя1> с полностью или частично
совпадающими индексами, которые пропорциональны с, с2 и т. д. Но сумма
членов всех порядков со всеми совпадающими индексами равна
2 S cU*(G°Pn)mG° = c2 2 G°P"G°,
n m=1 n m = 1
где функция /0 (E) =^<n | G° J n> не зависит от п в силу трансляционной
инвариантности гамильтониана Н°. Поэтому, с точностью до членов порядка с
включительно, N"1Sp<G> имеет вид
tHp<G> - h(E)-T_*md%f . (22.11)
где учтено, что
<n |G°!|n>={ п | - ч )~ - • (22.12)
Но (22,11) есть не что иное, как первые два члена разложения
(22.1). Действительно, согласно (22.2) коэффициент при п в
(22.1) есть
Sp(Gx-G°), (22.13)
где Gх = (Е-Н°-Un Рп)'1. В силу (22.5) и непосредственно проверяемого
тождества
(I - АРП)-1 = (I - <п | А | п"-1 АРП, (22.14)
справедливого для любого оператора А, имеем
Gi = G° + G"pn G°- (22.15)
9 И. М. Лифшид и др. 257
Поэтому (22.13) можно представить в виде
Sp I-(//0 (?)^°РпG°= 1-Uf0(Ej<П I ^G° ^ Iп>'
откуда и следует формула (22.11).
Можно показать, что в случае возмущения вида U (Рп +Рт), соответствующего
"задаче двух тел",
Q, - О" + G°T (Р" + Pm)+tS(I m> <П | f "-"+|П> <m 1 f Q>. (22.16)
2 1 1___Ч-2Р0 E-0 " \ /
1 T2f0 pt
1 1 п-m m-n
где t = х=13Ш' f!-= <m|G*|n>. П(Е) = !.(?)•
Поэтому с точностью до членов порядка с2
N-1 SpG = N-12 (Е-Е (к))-' + N-1 %Т.(Е-Е (к))-2, (22.17)
где
cU ( КеЫп + А°пА\ *
T.-^l+eZ \_KArn) <22-18>
и
О" = 1-У/0(?), Л? = ^??(?). (22.19)
В дальнейшем нам понадобится и несколько иной вывод фор-
мул (22.17) - (22.19), основанный на формализме теории многократного
рассеяния. Введем оператор Т, определяемый соотношением
G = G°+G°TG0 (22.20)
и, в силу (22.4), удовлетворяющий уравнению
T=*U + UG°T. (22.21)
Из (22.10) и (22.21) следует, что
Т=2'", (22.22)
п
где
t" = J/"P"+t/"P"G"2tm.
ГП
Выделяя здесь в сумме справа слагаемое с m = п и разрешая полученное
соотношение относительно t", найдем, что
t" = T" + T" 2 G°tm, (22.23)
Л1#П
где мы ввели оператор Т" = (I - UnG°)_1Un, называемый оператором
рассеяния на одной примеси. В силу (22.14)
ТП = т"Рп" Tn = 1 - unf0(E) ' (22.24)
258
Итерации уравнения (22.23) приводят к следующим выраже* ниям для tn и Т
