Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
P
Искомый диагональный элемент GKK будем, как и ранее, находить из
уравнения (24.6) при K = q:
№-e(k))g"-2 t/"<ri.
n
Входящую сюда величину #пк определим с помощью формулы
(24.7) при q - к, выделяя в ней явно GKK и т. д., иными словами,
будем на каждом последующем этапе явно выделять те члены в суммах по п в
(24.6) и по р в (24.7), которые уже встречались на предыдущих этапах.
Имея в виду при этом получить формулы, содержащие только с и с2 *),
будем, подобно тому как это было сделано в (22.27), отбрасывать такие
суммы по п, в которых происходит суммирование по трем и более индексам. В
результате придем к формуле
<24-8>
п п
тф п
где
'Гп - | Utl f (?) ' 'Гп TmFn - m {Е) F т - п (Е),
Fn (Е) S ?_?(К)_я > (24.9)
к '
f(E) = F0(E) = N^SpG.
Усредняя выражения (24.8) и (24.9) по U" и оставляя в них (как это было
сделано при переходе от (22.27) к (22.28)) только члены принятой
точности, найдем окончательно, учитывая
*) По поводу формул, учитывающих также и члены порядка с3, см. [178],
т
совпадение RK и 2 (к) при N-юо, что
<0кк> - (Е - Е (к) - 2 (к)) "S (24.10)
где
^") = f('+CX Ап?-1 л"п~" + ' <2411>
\ пфО /
D=l-J/F0(?), Aa = ^-F"(E), (24.12)
<24лз)
Необходимо отметить, что на самом деле при выводе написанных формул в
фигурирующих в них суммах по импульсам возникают, как следствие нашей
процедуры, ограничения, запрещающие индексу суммирования принимать
некоторые значения (ср. с (24.4) и (24.5)). Эти ограничения сводятся к
тому, чтобы сумма по п=^=0 в выражении (24.11) для 2 (к) включала лишь
осциллирующие по импульсам слагаемые.
Полученные формулы содержат 2 (к) как в левой, так и в правой части и
потому, в отличие от (22.28), представляют собой самосогласованную
систему уравнений для 2 (к), причем такую, в которой учтены вклады как
одиночных примесей, так и пар их, а опущенные слагаемые отвечают вкладам
от групп трех и более примесных центров. Заметим, однако, что, хотя в эти
выражения в качестве формального малого параметра входит концентрация с,
фактический параметр разложения может оказаться более сложным. Мы уже
видели это в случае приближения когерентного потенциала, где таким
параметром, по-видимому, является отношение cjz (г- координационное число
соответствующей решетки). Вообще же в достаточно реалистических задачах
кроме концентрации имеется обычно и ряд других параметров, и условия
малости поправок и согласованности принятого приближения приводят к
неравенствам, содержащим некоторые безразмерные комбинации концентрации и
этих других параметров. Мы встретимся с такими случаями ниже, в гл. VI,
где будут изложены расчеты, использующие формулы (24.10)- (24.13), и где
роль указанных параметров будут играть расстояния локального или
квазилокального уровня до невозмущенной зоны, величина потенциала
возмущения U и другие величины.
§ 25. Модель неупорядоченной системы, точно разрешимая в макроскопическом
пределе
Сохраним в соотношении (24.11) только первый член в скобках. Получающееся
в результате выражение для собственной энергии, ^рторая в этом
приближении оказывается не зависящей от к,
т
имеет вид
си
1 Uf0(E - 2) *
(25.1)
Оно представляет собой самосогласованное уравнение для 2, совпадающее с
(23.7). Мы пришли, таким образом, к уже обсуждавшемуся приближению
модифицированного пропагатора, но теперь уже на более систематическом
пути.
Численные расчеты [169] показывают, что, как правило, это приближение
оказывается менее точным, чем приближение когерентного потенциала. Кроме
того, так как согласно (24.11) 2 имеет порядок с, то из сравнения (25.1)
и (23.9) ясно, что формула (23.9) должна быть применима при более высоких
концентрациях, чем (25.1). Однако, в отличие от (23.9), приближение
модифицированного пропагатора переносится и на случай непрерывных моделей
[175, 179]. В связи с этим отметим, что если при вычислении плотности
состояний одномерного уравнения Шредингера с потенциалом
U (х) = 2 kn& (х-па),
П
гамильтониан которого, как было показано в § 1, приводится к виду (22.8),
воспользоваться приближением когерентного потенциала, а затем перейти к
непрерывному распределению примесей (с-*- 0, а->-0, с/а-> const), то в
результате получится континуальный аналог (25.1) [180].
25.1. Описание модели и вывод основных соотношений. К приближению (25.1)
можно отнести все то, что было сказано в начале § 24. Проиллюстрируем на
данном примере этого приближения тот уже отмечавшийся выше факт, что
одноузельные приближения имеют характер теорий среднего поля, т. е. не
учитывают флуктуационных эффектов. Мы сделаем это, построив модель [181,
22], в которой формула (25.1) (или (23.7)) оказывается асимптотически
точной при N -> оо и указанные эффекты в пределе исчезают. К этой модели
можно прийти, отправляясь от гамильтониана (22.8) и рассуждая следующим
образом.
Прежде всего, ясно, что при N -*¦ оо случайное возмущение в (22.8) можно
задавать не путем введения случайных множителей Un*) перед каждым из
