Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
*) Отметим, что большинство существующих в настоящее время расчетов из-за
большого объема вычислительной работы выполнено только для однозонного
гамильтониана Н° и весьма простой ("полукруговой") формы плотности
2 ____________
состояний -ц2'
Yu* -Е*, которая лишь в общих чертах (поведение на краях зоны) сходна с
реальной плотностью состояний.
263
G°(E - o), а вместо Тп-оператор
T(n) -_______------------f n> <n I
1 I-(Un-o)fo(E-a) ln^ni*
В силу (23.8) первые неисчезающие члены в <Т> появятся только в четвертом
порядке и будут такими, что разложение разности
<0 j <G (Е)> 10> - <01 G° (Е - а) 10> (23.10)
начнется со слагаемого вида [166]
U-о
(1 -су
1 - (U-o) f о (Е-о)
П ^^0
Fn = <01 G° (Е - о) |п>,
V р2 р А-р
/ .i 1 П 1 -п ^7 *¦ -п"
содержащего только недиагональные элементы функции Грица Q°(E - а) в
координатном представлении.. Как показывает анализ 'ряда теории
возмущений i&l, I67J, ~таким свойством будут
характеризоваться и все последующие члены разложения (23.10). Это
означает, что в приближении когерентного потенциала члены, содержащие
номер только одного узла, учтены во всех порядках. В других приближенных
схемах такие члены либо учитываются только частично, либо в них имеет
место превышение точности (сохранение в каждом слагаемом членов более
высокого порядка).
Поправки к приближению когерентного потенциала содержат, во-первых, более
высокие, чем линейная, степени концентрации и, во-вторых, лишь
недиагональные элементы G°(? - о). Этот факт можно рассматривать как
указание на то, что в этом приближенном методе параметром разложения
является не сама концентрация, а скорее ее отношение к числу ближайших
соседей г соответствующей реШетки, поскольку недиагональные элементы-**
"имеют, по крайней мере при больших Е, порядок (?'2г)-1, в отличие от
диагональных, имеющих порядок Е~г. Справедливость этого предположения
подтверждают также вычисления моментов собственной энергии и плотности
состояний, показывающие, что поправки к моментам этих величин, найденным
с помощью приближения когерентного потенциала, имеют порядок с2/г2, а не
с2 (см. [164]).
Это обстоятельство свидетельствует о сходстве указанного приближения с
приближением самосогла^ианнпго пппя п статистической физике, которое, как
известно [171, 172], и дает первый член разложения термодинамических
величин по обратному координационному числу г~х. Эти же соображения
показывают, что тдхшпгуь приближения когерентного потенциала должна повы-
шаться с размерностью пространства.
" Сказанное в предыдущем абзаце полностью подтверждается расчетами,
выполненными в [173] для двух моделей сплава. В частности, первая из этих
моделей описывается гамильтонианом (22.8),
264
в котором Un- энергия электрона в узле п, принимающая значения UA или U8
в зависимости от того, атом какой компоненты находится в узле п, а
амплитуда перехода с узла m на узел п имеет вид
Н°п-т ~ехр(-tn-ш iTo'1).
Оказывается, что в случае (а/г0)3<^1 (а-постоянная решетки) приближение
когерентного потенциала соответствует учету первого неисчезающего
приближения в разложении собственной энергии по параметру (a/r0y / (?),
где [(E)- некоторая функция энергии, неограниченно возрастающая вблизи
границ спектра. При этом малость отношения (а/г0)3 как раз и обеспечивает
попадание достаточно большого числа атомов типа А и типа В в область
возможного перескока, и потому флуктуациями концентрации каждой из
компонент внутри такой области можно пренебречь. Наличие же в параметре
разложения множителя / (?), возрастающего по мере приближения к границе
спектра и ограничивающего пределы применимости приближения когерентного
потенциала, отражает флуктуационную природу состояний вблизи границы.
Все же необходимо отметить, что достаточно надежных количественны^ опенок
области применимости приближения когерентного потенциала п нягтпятпее
время не существует, и основным свидетельством точности этого приближения
является, как было сказано выше, удовлетворительное согласие полученных С
его помощью результатов с результатами численных экспериментов и расчетов
и правильное качественное поведение вычисляемых величин [160, 161].
К числу недостатков... приближения когерентного потенциала сдедует
отнести и то. что его обобщение на другие, отличные от
(22.8), модели, а также-нахождение попоавоккнему. в общем случае не
является ни простым, ни однозначным. Некоторые из таких обобщений можно
найти в [164, 174 - 177], номы не будем на них здесь останавливаться.
Укажем только, что одной (но не единственной) из возникающих при_этом
трудностей является НеВОЗМОЖНОСТЬ НаЙТИ В ДОСтаТОЧНО обозримом ридр
nnfpflTQfipaiv сеяния Тп ~на_потеш1иале одноТо'Тгртшёсного центра, т. е ,
в ко-, нечвдг^счете, отсутствие в сколько-нибудь обтай снтуапни-фор^
мулы, аналогичной (22.14)7
§ 24. Ренормированные разложения
Общей неудовлетворительной особенностью всех одноузельных аппроксимаций
является то, что они не совсем правильно дают форму плотности состояний в
