Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
операторов Р"=| п><н|, а путем рассмотрения совокупности Cft(N-cN)
конфигураций точек на решетке и приписывания каждой конфигурации
одинаковой
*) Здесь и ниже в этом параграфе мы обозначаем узлы решетки скалярным, а
не векторным индексом, считая, что они занумерованы некоторым
фиксированным способом. Дело здесь в том, ,что в рассматриваемой модели
размерность пространства несущественна, подобно тому как это имеет место
для приближений типа среднего поля в статистической физике [ 172J.
270
вероятности (Cjj)-1. Иными словами, при N-> оо
и=У2Р,,
i=i 1
где пг, яа, ..., nN- точки, определяющие конфигурацию и потому различные.
Пусть теперь отдельные точки совпадают, т. е. будем предполагать, что
каждая из N точек конфигурации может с одной и той же вероятностью N-1 и
независимо от других занимать любой из N узлов решетки. Поскольку
вероятность попадания двух каких-либо точек в один и тот же узел равна
с2, то при малых с это предположение вполне оправдано. Но тогда случайное
возмущение U есть сумма N случайных операторов первого ранга, таких, что
соответствующие им векторы <?*>, /=1, 2, Ny независимо друг от друга с
вероятностью N-1 выбираются из фиксированного базиса {|н)}:
U = S^k, ><?,|. (25.2)
I * = *
Такая модель еще мало отличается от исходной, как ясно уже из того, что
она представляет собой дискретный аналог непрерывной одномерной модели с
потенциалом (5.21) V (х)=&02 б(лс-ху),
з
где точки Ху независимы и равномерно распределены на отрезке (О, L), а
эта последняя оказывается весьма сложной, и для нее не удается в
замкнутом виде найти собственную энергию. Кроме того, флуктуационные
эффекты в модели (25.2) столь же существенны, как и в исходной. В
качестве меры этих эффектов можно взять величину
<"?, I Н° | ч,у-N-'2 <n I Н" I п"*>, (25.3)
п
поскольку
"?, I н" I ?,"=N-'2 <п | н° | л>=N'1 Sp н",
П
и потому (25.3) есть просто дисперсия случайной величины <</*|Н°|^>-
простейшая мера ее отклонения от своего среднего значения. (Последнее
равенство есть следствие статистического равноправия всех точек решетки и
выражает собой факт пространственной однородности рассматриваемой
модели.)
Нетрудно убедиться, что для такого видоизменения (25.2) модели (22.8)
величина (25.3) не стремится к нулю при N-"-оо, что и свидетельствует о
том, что в модели (25.2), как и в (22.8), флуктуации имеют порядок самих
средних. Математическая причина этого состоит в том, что число значений,
которое принимает каждый случайный вектор | qt>t равно числу узлов
решетки, т. е. размерности пространства, в котором действуют операторы Н°
и U. Поэтому заменим | q{> случайными и независимыми векторами |5f>,
такими, что число значений, которые может при-
271
нимать каждый из них, много больше, чем N. Типичными при- { мерами таких
векторов являются случайные векторы, равномерно распределенные по
единичной N-мерной сфере, или векторы вида N-1/2(?j, |а, ..., |N), где
каждая из независимых случайных величин |ь |а, ..., |N с вероятностью 72
принимает значения ±1. (Существуют весьма общие условия, которым должны
удовлетворять подобные векторы [181]. Они, грубо говоря, состоят в том,
чтобы II и IV моменты компонент этих векторов при N -оо вели себя так же,
как в указанных двух ансамблях случайных векторов.)
Можно убедиться [181], что для таких векторов
<(<?,| Н" | ?,>- N-> S <n| Н" |л"!> = О (N-1), N -*00,(25.4)
П
и, значит, в макроскопическом пределе флуктуации величины исчезают.
Покажем, что для такой модели функция
g(?) = N-1Sp<G(?)> = j?i7^-. (25.5)
однозначно определяющая плотность состояний р(?), вычисляется точно и
имеет вид, соответствующий собственной энергии (25.1). Для того чтобы это
сделать, введем цепочку интерполирующих операторов
т
Н" = н°+С/2 т = 0,1, (25.6)
/= 1
так что Н0 -Н°, Ндг^Н.
Поскольку НЛ+1 -Ня = [/|6Л+1><Ьт+1]=г/Ря+1, то, используя
(22.15) и (22.12), найдем, что функции grrt(?')=N_1Sp (Е - Н^)-1
связаны соотношением
N (?." -gj = In (1 - U <4"+11G, | й.+1". (25.7)
где Qm = (E-HJ"1. Теперь из (25.4) с учетом независимости |&!>, ..., \
ЬтУ от |Ьт+1У найдем, что в правой части (25.7) величину <6m+i|GOT|6OT+1>
можно заменить на ее среднее значение N"1SpGm=sg,JB по вектору | Ьт+1>. В
результате такой замены соотношение (25.7) при N -*¦ оо превращается в
дифференциальное уравнение
^• = -c^ln(l-C/g), (25.8)
где t = lim , 0 ^ t ^ 1. "Начальным" условием для (25.8)
N оо
служит очевидное соотношение
?|,=0 = N-'Sp(Е-НТ1 = J ¦Ле2Р' = h(?). <25-9)
где р0 (Е)-плотность состояний оператора Н°, a есть ис-
комая функция (25.5).
272
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что решение уравнения
(25.8) при условии (25.9) в неявном виде задается формулой
Отсюда, полагая t=* 1, находим, что
"<*> = /. (25Л0)
получая, таким образом, для N"1Sp<G (Е)> = <С00(?)> выражение,
соответствующее собственной энергии (25,1).
Уточняя изложенные рассуждения, можно найти g(E) и в более общем случае,
когда в (25.6) случайными являются не только
