Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
для In р (?).
Заметим теперь, что ф| по порядку величины есть характерный объем V, в
котором сосредоточена функция ф(г). Если вне этого объема положить
потенциал равным бесконечности, то неравенство (21.5) только усилится и
примет вид
р (0 > V-1 ехр <ф | Н - j ф> - V-1 ехр (- "Г*) А* (*), (21.6)
Н (О = <ехР (- **А|>)>" где Нр?-оператор, определяемый уравнением
Шредингера с потенциалом U (г) внутри V и нулевыми условиями на его
границе. Такая форма неравенства (21.5) оказывается удобной при
рассмотрении ограниченных снизу потенциалов.
Далее, нетрудно видеть, что <ехр (- ^ <ф | Нрг | ф>)> есть преобразование
Дтщса введенной в § 14 плотности вероятностей
P$(E-7\]>) случайной величины U$ = J U^dx. Поэтому, если бы
v *
в (21.6) можно было перейти от преобразований Лапласа к оригиналам, то
получилось бы неравенство
р(?)>У-г <6 (?-0ИН|Н!")>.
Мы сейчас увидим, что такое неравенство действительно может быть строго
доказано, если только записать его в проинтегрированной от - оо до Е
форме:
сГ (Е) > У"1 <0 (Е -<ф | Щ | ф">, (21.7)
Е
где Ж(Е) = J р (E')dE\ 0 (л:) - функция Хевисайда. Тем самым,
- оо
в частности, будет доказано, что выражение <В{Е-<ф|Н^|,ф>)>, которое, как
было установлено в §§ 14, 17, описывает асимптотическое поведение Ж (Е)
при Е ~ Егр, является в то же время оценкой снизу для этой величины при
всех Е.
Чтобы доказать (21.7), воспользуемся следующим вытекающим из
вариационного принципа [47] неравенством, справедливым при любом
разбиении объема У на части и У2:
Ус^(?)>% (?) + У2Лг(?)> (21.8)
где ЖУ(Е)-число состояний оператора Ну, энергия которых не превосходит Е.
Поэтому, если разбить объем, занимаемый системой, на части У, затем
многократно применить (21.8) и усреднить результат по реализациям
потенциала, учитывая Тгри этом самоусредняемость Ж{Е), то получится
неравенство
Ж{Е)^<Жу (?)>• (21.9)
Но неравенство
cNV (?) = Vм S3 0 (Е - E*V) > V-'0 (Е - E"v),
п
где Е0^^1 .. -уровни энергии оператора Н^-, и (21.9) при-
водят к соотношению
Ж( Я^У-1 <0 (?-?">,
т. е. к формуле, сходной с (14.2), но имеющей вид неравенства.
Теперь, чтобы получить (21.7), необходимо лишь учесть, что
0(?-х) является убывающей функцией х и согласно вариационному принципу Е^
- min <ф |Нр|ф>.
ч>
21.2. Оценка сверху в случае плавных потенциалов. Укажем теперь оценку
сверху для р(?), которая оказывается асимптоти-
246
чески точной при t -+ оо для плавных потенциалов (классический случай).
Для этого запишем функционал
ехр J U (г (s)) dsj ,
фигурирующий в представлении (3.2) для К (г, г'; t) через континуальный
интеграл, в виде
ехр { - *$ U (г)f*f(r)dr} ,
где
t 11/2
¦j J 6(r-r(s))<fe
ft( г) =
о
Поскольку в показателе экспоненты этого выражения стоит - ^ </1U | />, то
можно опять применить неравенство (21.4). Это дает соотношение
ехр
t
t
- J U (г (s)) ds <</| ехр(-Ш) | f> = -у J ехр [- tU (г (s))] ds,
подстановка которого в континуальный интеграл (3.2) приводит, с учетом
пространственной однородности U (г), к неравенству
р (t) ^ (4я/)-V* <ехр [- / U (г)]>. (21.10)
Покажем теперь, что неравенства (21.5) и (21.10) позволяют найти
асимптотику In р (/) при t -оо для потенциала (2.4) с отрицательной и
плавной в нуле функцией и (г) и для гауссовского случайного потенциала, у
которого <t/ (г)> = 0 и корреляционная функция Ви (г) непрерывна в
окрестности начала координат.
Выражение (2.6) для характеристического функционала гауссовского
случайного поля вместе с (21.5) и (21.10) приводит к неравенствам
2 In ih-i-T* -Ц jj. in (Ш).
t
Если здесь выбрать функцию ф(г) в виде R~d^2X? (r/R), R то при t-+oo из
них получается следующее асимптотическое выражение для 1пр(?):
InpW-ViBcfO)**.
Подставляя теперь это выражение в (17.2), при Е-* - оо имеем Ф (Е) =-
Е*/2Ви (0), что уже было установлено в предыдущих параграфах другим
методом (см. (15.5)).
Аналогичным образом, используя явный вид (2.5) или (16.1) для
характеристического функционала потенциала (2.4), получим, чтов
простейшем случае гладкой в нуле и сфзрически-симметричной
247
функции w(r)
In p (0 = n Ф exp (tu (0)), t -+¦ OO
(ср. с (16.2)), что после подстановки в (17.2) приводит к формуле (16.6).
Вид формулы (16.6), так же как и вид (15.5), в действительности не
зависит от степени гладкости случайного потенциала и остается таким уже и
в том случае, когда функции и(г) и Ви(т) просто непрерывны в окрестности
начала координат. Гладкость этих функций сказывается на виде следующих
членов асимптотик Ф (Е) при Е-> оо. Так, если предположить, что Ви(0) - -
Вц(т) ~br~a, 0<а^2, то отношение следующего члена
а а
к главному в (15.5) будет иметь порядок Jfj а+г^а+2^ в частности, если
|?ц(0)|<оо,- порядок | Вц (0)/Е j1/2 (ср. с (15.6)). Подобные оценки
справедливы и для потенциала (2.4).
Рассмотрим теперь случайный потенциал (2.4) с и (г) > 0, однако, в
отличие от § 17, не будем теперь считать, что и (г) обращается в нуль при
г > г0. Вместо этого мы предположим, что при г -*¦ оо функция и (г) ведет
