Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
точек в случае проективного пространства), принадлежащих многообразию V.
Определим дзета-функцию на многообразии V равенством
Комментарии
•413
где ряд сходится при | /| <' q~n. Вейль (Weil [6]) сформулировал
некоторые предположения об этой дзета-функции, в частности, что Z (К; 0
является рациональной функцией от переменной t, что она удовлетворяет
некоторому функциональному уравнению и что ее нули и полюсы имеют
некоторые заранее заданные абсолютные величины. Рациональность дзета-
функции Z (V; 0 была доказана Дворком (Dwork [2]) с помощью р-адической
техники; см. также работу Dwork [1 ], где устанавливаются
подготовительные результаты. Позднее Гротендик (Grothendieck [2]) доказал
тот же результат средствами алгебраической геометрии. О рациональности
дзета-фуикции Z (V; t) см. также работы Bruhat [1 ], Dwork [9], Joly [51,
Koblitz [2, ch. 5], [4], Milne [1, ch. 6], Monsky [1] и Reich [I]. Метод
Дворка был обобщен в статье Kjefe [1 ], и с его помощью было доказано,
что логарифмическая производная от дзета-функции не только иа
многообразии, но и на более общем множестве V является рациональной
функцией. Тот факт, что дзета-функция гиперповерхности, определяемой
диагональным уравнением, является рациональной функцией, был отмечен еще
Вейлем (Weil [6]); ср. также с (6.15) и с примером 6.49, а также с
разбором этого случая в книге Ireland, Rosen [1, ch. 11 ]. Для некоторых
других частных случаев предположение Вейля о рациональности дзета-функции
Z (У; ?) было доказано еще до Дворка в работах Carlitz [421, [561,
uelsarte J. [1], Furtado Gomide [1], Sampson, Washnitzer [1] и Weil [8].
Если V - невырожденное абсолютно неприводимое проективное многообразие
размерности г, то Вейль (Weil [61) высказал, далее, предположение, что
рациональная функция Z (К; t) имеет вид
7 /1Л f\ _ Ед(?)Рз(9 •••В 2Г-1 (О
м.к' Po(t)PM ... я*г(0 1
f
где каждое Ph-многочлен с целыми коэффициентами и постоянным членом 1.
Более того, Р0 (t) = 1 - С P2r (t) - 1 -
(ft и
Ph(t) ~ П (1 - ahit) для 0<ft<2r,
где aki - целое алгебраическое число, для которого | ahi | = qh/2. Он
предположил также, что степень Bh многочлена Ph можно интерпретировать
как число Бетти. Указанный вид дзета-функции Z (У; /) ведет к следующему
представлению числа Ns F^-рациональных точек на V, справедливому для
любого натурального числа s:
414 Гл. 6. Уравнения иад конечными полями
.а
Критический разбор предположений Вейля с различных точек зрения был
проделан в следующих работах: Deuring [31, Joly [5], Kleiman [1], Mazur
В. [1], Milne [1, ch. 61, Monsky [I], Swin* nerton-Dyer [3] и Tate [1 ].
Первая брешь была пробита Дворком (Dwork [3], [5], [8]), который
установил для случая гиперпространств указанные выше разложение функции Z
(К; i) и интерпретацию чисел Bh, а также показал, что эта функция
удовлетворяет функциональному уравнению
1N ±q^44(V\t), fe=S(-\fBh,
qrtj
о чем тоже говорилось в предположениях Вейля; см. также Dwork [6], [7],
Ireland [1] и Monsky [1]. Предположения же Вейля о коэффициентах
многочленов Ph и об абсолютных величинах
чисел ahi (так называемая гипотеза Римана - Вейля) до сих тр/^щ остаются
недоказанными. Указанные результаты Дворка дл^ ^
гиперповерхностей были распространены на общий случай Грог:/:||| тендиком
(Grothendieck [21, [3]). Другие доказательства былцС|§§ даны в статьях
Lubkin [1 ], [2], а в статье Lubkin [3] было по№|||| зано, что многочлены
Ph(q~h/2t), 0 <] ft 2г, являются ква31#С!§§! с а мо во з в р ат н ы м и.
Гипотеза Римана - Вейля была доказана дли:
\тх-:
некоторых кубических гиперповерхностей в статьях Bombierfe ^lp
... . ... .. I ''уК.-
*• • ¦".
"I- -
Swinnerton-Dyer [13 (см. также Bombieri [2]) и Перельмутер [51] ;|||| для
некоторых гиперповерхностей четвертой степени в статьях Deligne [1] и
Dwork [10], для абелевых многообразий в статьях Weil [3], [4] и для
некоторых других типов многообразий в статьях Deligne [I], [2]f Harder
[1], Weil [9j, Псковских [2] щ Манин [3]. И наконец, общая гипотеза
Рнмана - Вейля была доказана Делинем (Deligne [3]), который также отметил
вы* текающую из нее оценку для числа точек иа многообразии. В ра* боте
Katz [3] дается великолепный разбор основных частей доказательства
Делиня; краткое изложение его можно найти в статье Serre [2]. См.
обобщения этой теории в работах Deligne
[6] и Lubkin [4], [5].
Для некоторых полиномиальных уравнений с числом перемен* ных п 3 можно
гораздо более элементарными средствами полу* чить оценки для числа
решений, которые ничуть не уступают оценкам, полученным с использованием
гипотезы Римана -* Вейля. Так, помимо очевидных примеров линейных,
квадратных и диагональных уравнений можно указать результаты Дэвенпорта и
Льюнса (Davenport, Lewis [4]) и Морделла (Mordell [11], [17]
[20], [21]), которые дают оценку N ^ р2 + О (р) для числа решений ряда
кубических уравнений f (х, у, z) = 0 над полем Fp>
В статье Davenport, Lewis [4] получена оценка того же типа для почти всех
