Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
[1] и Tietavainen [12] x). Примеры, когда
уравнение apcX -f ... + anx" - 0 иад полем Fp не имеет решения
(С сп) € F3, где все с* отличны от 0, можно найти в работах Gegenbauer
[3J и Vandiver [8 3. Нижние границы для числа элементов поля Fg,
представимых в виде суммы + ...
+ anXnt получены в статье Chowla, Mann, Straus [1 ] (см. также Mann [3,
ch. 23) для -простого числа q ив статье Diderrich, Mann [1] для
произвольного поля Fa. В статьях Lehmer Е. [2 3 и Kaplan [1 ] результаты
о числе решений уравнения х\ + ... + х" =
- b в используются для исследования вопроса о вычетах и изучения законов
взаимности; см. также Williams К. S. [33]. В статье Hodges [15]
рассматривается уравнение в определителях вида % det (ХД* + ... + ап det
(Хп)к = Ь, где Хх, Хп -
неизвестные матрицы одного и того же порядка над полем Fg-Теоремы 6.41 и
6.42 установлены в статьях Morlaye 11 ] и Joly [5]. Метод их
доказательства восходит к Лебегу (Lebesgue [1]), который установил
некоторые сравнения по модулю р для числа решений диагональных уравнений
над простым полем Fp. Дальнейшие результаты этого типа получены в статьях
Joly 13], [5] и Morlaye [1]. Теорема 6.43 доказана Карлицом (Carlitz
165']), который обобщил результат Шварца (Schwarz [63), полученный для
случая, когда g - константа. Следствие 6,44 тоже было установлено
Карлицом (Carlitz [65]). Уравнения вида / (хх) +.... + f (xn) = b С Fp с
произвольным многочленом f иад Fp рассматривались еще Диксоном (Dickson
[47]); см. также Hua [2j и Hua, Min [1]. Случай кубического многочлена /
более подробно изучался в работах ,Ghent [I] и Hua [4], [53, [81.
Уравнения вида Д (хг) + ... + fn (#n) = b С Fg с произвольными
многочленами Д, ..., fn над Fg рассматривались в работах Carlitz [433,
Carlitz, Lewis, Mills, Straus [1] и Tietavainen 11], [2], [6], [7 3, а в
работах Carlitz, Corson [1], [2] рассматривался даже более общий случай,
когда Д являются многочленами
х) См, также Карацуба [3* 1, где выясняются условия разрешимости в кольце
Ziiff) уравнения ... + х^~ а, - Пpuм^ перев.
26*
404
Гл. 6. Уравнения над конечными полями
от непересекакяцихся множеств переменных. Случай, когда ft некоторые
рациональные функции, появляется в статьях СагС litz 143] и Brenner,
Carlitz [1].
Системы двух диагональных уравнений исследовались в ра ботах Corson [1 ],
Davenport, Lewis [6], 17], Markovic [1 ], Spack man [1] и Tietavainen
[8]. Более общие системы диагональный
были рассмотрены в статьях Akhtar [1 ], Carlit^ j Davenport, Lewis [8],
Hua [9, ch. 11], [10], Mil [7], Spackman [1], [2], Tietavainen [1], [2],
[6] Карацуба [1], [2], Коробов [3], 17] и Лин ник [11 Tietavainen [6]
показано, что система уравиени
уравнении Wells [1], [1], Redei Wells [2], В статье
• ' Ssv У
?'Щ
ii. >\'Л
п
к
2 dijx/ = 0, i ~ 1 /=*1
решение если п >
С над полем имеет нетривиально^!
JK.
в F
П
Я
для нечетного числа d = НОД (&, ц - 1) > 1 21 (1 -f log2 (d- 1)). В
статье Spackman [2] получены результаты о распределении решений и о
существовании "мальвд/ решений для систем диагональных уравнений. В
статьях Tietl vainen [1], [2], [6] рассматривались системы уравнений
вид$|
X fti М = 0, ? =- 1,
I
обладающие свойством fti (0) - 0, и получены условия сущеетЦ вования
нетривиального решения. Такие же системы над коль|{
С где /
U
многочлены над полем IF
./а-
Щ
М'-
**8
цом вычетов zj{pr) рассматривались в работе van der Corput [1 ]
О результате, полученном в упр. 6.72, и его обобщениях см| статьи
Carlitz, Wells [1] и Wells [2].
§ 4. Метод, описываемый в этом параграфе, развит С. А. Стф Пановым *), а
усовершенствован и упрощен В. Шмидтом. О представляет собой успешную
попытку доказать элементарны путем результаты А. Вейля, который для той
же цели использоЦ вал изощренную технику алгебраической геометрии. Этот
метщ|| был впервые применен в статье Степанова [1], где был доказав
результат типа теоремы 6.53 для уравнения г/ ~ f (х) над стым полем F" с
многочленом / нечетной степени (см. такж|§ Елистратов [6Г о более позднем
результате того же типа). ЗатеаЙ
Ш
.'-Г. ftV.
н.ч!.*
1) Как сообщил С. А. Степанов, говоря об истоках этого метода, нужй$*
отметить: 1) результат Н. С/ Аладова (1] (1896 г.) о числе решений
сравненнз1||
" -1
if = х (х 4- 1) (mod р), полученный применением метода Лагранжа; 2)
работу 1 Ю. И. Манина [I] {1956 г.), п которой элементарным путем,
моделирующизА-'Щ более ранний и очень сложный метод Хассе-Вейля, получена
оценка j Мр - р]<?
<2р ^ для числа Nр решений сравнения if -j- ах -}- Ь (mod р) и 3)
ментарное доказательство А. Г. Постникова (1967 г.) оценки [ Nр - р | <1
{р -ф + 3)/2 для такого числа Ар. Для получения этого результата
Постников рассш-; Д
трел многочлен g (х) - 2/ (х) (l dr (/ (х))*р_Г1/2) -j- (хр - х) f (х),
где f (х) ^ я
- f-faxf b, и доказал, что каждый корень многочлена F (х) = 1 Щ (/
(х)Тр"^' по модулю р является кратным корнем многочлена g (х), - Прим.
перев.
