Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
2
|уб
¦ * 1
;. i
ж
Комментарии 405
для того же уравнения Степановым был получен результат теоремы 6.57 (см.
Степанов [6]). В его статье [2] указанный метод прилагается к более
общему уравнению ут - / (я) иад IF-" где НОД (deg (/), т)-\. К уравнениям
вида у* - у - f (х) этот метод впервые был приложен в статьях Степанова
ЕЗ], [5]. Другой элементарный метод решения этих уравнений был предложен
Митькиным [1], Оба указанных типа уравнений являются частными случаями
уравнения
f (*. У) = Ут + <2х (х) ут~' ¦¦! h ат (х) = 0, at (х) g Гр [х].
В предположении, что многочлен / (х, у) неприводим над основным полем Fp,
степень deg (am) = k взаимно проста с т и deg (at) < ikjm, 1 < i < /я -
1, Степанов в работах [71, ЕВ] получил следующую оценку для числа N
решений уравнения
/ (*. У) - 0 в Fj: | N - р | <; Ср1/2, где константа С зависит лишь от k
и т; см. также Степанов ЕЮ]. Шмидт (Schmidt W. М. [1 ]) показал, что
указанные условия на многочлен / (х} у) влекут за собой его абсолютную
неприводимость; он обобщил результат Степанова на случай произвольного
поля Fg, показав, что для абсолютно неприводимого многочлена f (х, у)
число N решений уравнения f (xt у) = 0 в FJ удовлетворяет неравенству | N
- - q | Cqx/2t где константа С зависит лишь от степени многочлена f; см.
также Schmidt W. М. ЕЗ, ch. 3]. Изложение метода Степанова можно найти в
его работах [9], ЕЮ], Е12], Е13]; весьма подробно этот метод разбирается
также в монографии Шмидта
Schmidt W. М. ЕЗ].
*
Еще до результата Степанова нетривиальные оценки числа решений уравнения
ут = f (я) элементарными средствами были получены Морделлом (Mordell
[5]). Из оценок сумм значений характеров, полученных Дэвенпортом
(Davenport El], Е2], ЕЗ], [7]), тоже получаются аналогичные результаты;
см., кроме того, замечания ниже об эллиптических и гиперэллиптических
уравнениях. Идея использования г и пер производных EW для исследования
функций над полями ненулевой характеристики принадлежит Хассе (Hasse
[7]), а также Тейхмюллеру (Teichmul-ler [1]), который доказал основные
свойства этих гиперпроизводных. Другое доказательство леммы 6.55
(основанное на дио-фантовых приближениях) см. в книге Lang [1, ch. 5];
ср. также с упр. 6.68 и 6.69.
Подход с позиции алгебраической геометрии к уравнению / (х, у) - 0
состоит в том, что это уравнение рассматривается как определяющее
некоторую кривую в аффинном иди проективном пространстве над полем Fg-
Если многочлен / ? Fg Ея, у\ абсолютно неприводим и Nx - число Fg-
рациоиальных точек на проективной кривой (т. е. точек в однородных
координатах,
406
Гл. 6. Уравнения над конечными полями
tf-s
координатные отношения справедлива оценка
1*1-
которых принадлежат полю РА, то
С
2gql/\
" т
где g - род данной кривой. Этот результат был сформулировав!) Вейлем в
работах Weil [1], [2] и подробно им доказан в стать#;"*1 Weil -[3]. В
статье Lang, Weil [1 ] было отмечено, что коэффициев 2g в приведенном
неравенстве нельзя в общем случае заменит#! меньшим. Учитывая неравенство
2g (d- 1) (d - 2), где d
ж
dog (/) (ем-* например, Artin [9, ch. 16 J), для числа N решений^
уравнения / (ху у) - 0 в р? (т. е. для числа "конечных" точек!
на соответствующей проективной кривой) получаем оценку
N - q | < (d - 1) (d - 2) q1'2 + d2.
.{1?
'••ft:
На такую оценку, однако, нельзя рассчитывать, если многочлен не является
абсолютно неприводимым (см. упр. 6.64 и 6.65)7^ Покажем, как эти оценки
евязаиы с так называемой гипотезой) Римана для кривых над конечными
полями. Для s ? IN обозна чим через Ns число f^-рациональных точек на
проективной крн
вой, задаваемой уравнением f (х, у) - 0. Определим дзета?т
•• ••
функцию этой крнвой равенством
Ш
оо
Z (0 exp I S (Ays) ts
\ s=rj
ч:(-х-й
т
ми
где ряд сходится при j t [ < (это легко проверить с помощы-qj тривиальной
оценки Ns < dqs). Вейль установил, что на самоЙЦ деле Z (t) -
рациональная функция вида
40
. * Фщ
щг •/шт
Z(t) =
(l-0 (!-?<)
¦УШ
л
• л<Ч|Гл
.
где L (?) - многочлен степени 2gc целыми коэффициентами и сво7|
бодиым членом 1. Если записать
.т
L(t)
2 g
П (1 /=1
¦0т
то будут целыми алгебраическими числами. Гипотеза Ри
мана (доказанная Вейлем) состоит в том, что | о>
всех j -привело
1, ..., 2g. Рассуждение, аналогичное тому к формуле (5.24), показывает,
что
фп которой
'V/
'¦/Pi
А
ч
:'й
у,
>4
Ns = qs -f 1 - 2 и* для каждого s ? 1N
•.i^
•М ь г*
•Й
¦ч
*
а отсюда, учитывая гипотезу Римана, получаем, в частиости*
'.WML
:
?;v
указанную выше оценку для N±. Кроме того, дзета-функция удов
- V<5<4
ли • s М,н
: >с,ь,
5 .иАб
Комментарии
407
летворяет некоторому функциональному уравнению, нз которого следует, что
числа можно разбить на пары комплексно-сопряженных.
Вслед за упомянутыми статьями Вейля появились и другие доказательства
гипотезы Римана для кривых иад конечными полями. Так, в статье Mattuck,
Tate [1] решающее место доказательства Вейля было выведено из теоремы
Римана-Роха; см. аналогичное доказательство в статье Grothendieck [1].
