Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
полей; см. упр. 5.26 и 5.27, а также работы Burde [6], Hausner [13,
29;
Гл, 5, Тригонометрические суммы
Holzer [1, § 18, 19], Ireland, Rosen [1, ch. 7], KJoosterman Serre [1,
ch. 11 и Zassenhaus [3]. Другой метод доказательст квадратичного закона
взаимности с помощью конечных пол связан с разложением многочлена (хг -¦
1)/(х - 1) над просты
:<.>"•
.v;;
полем Fpt Эта идея восходит к посмертно опубликованной работ! Гаусса
(Gauss 14]) н позднее неоднократно использовалась тически в эквивалентных
формах другими авторами (см.
[2], Mirimanoff, Hensel [1] и Swan [1]). Этот тип доказательств
воспроизведен также в книгах Bachmann [4, ch. 7], Berlekaipj [4, ch. 6],
Childs 11, part III, ch, 16] и Redei [10, ch. 11]. ЛЩщ гие
доказательства, использующие конечные поля, можно найтм в статьях Agou
[6], Brewer 11], Chowla S. [18], Furquim Almeida [2], Lebesgue [4],
Pellet 19],Skolem [6] н Решетуха [2 см. также пример 5,24 в § 3,
Систематический обзор различи техники, используемой для доказательства
квадратичного закон, взаимности, можно найти в работе Pieper [11, В книге
Bachma [4, ch, 6] представлена история различных доказательств. V тересны
также доказательства квадратичного закона взаимное в недавно
опубликованных статьях Brown Е. [1] и Frame [1
Суммы Гаусса используются также при доказательстве высш законов
взаимности; см. Eisensiein [2] относительно кубично! случая и Eisensiein
[4] относительно биквадратичного случай; Доказательство Эйзенштейна
кубичного закона взаимное! воспроизводится в книгах Bachmann [1, ch. 14]
и Ireland, sen fl, ch. 9]; см. также Bachmann [1, ch. 13] по пово
биквадратичного случая. Доказательство Джоули (Joly [4 кубичного закона
взаимности тоже связано с суммами Гаусе|| При этом использование сумм
Гаусса со значениями из конечна поля вновь приводит к упрощениям (см,
Burde [6], [9] относ тельио кубичного и биквадратичного случаев
соответственно^ Доказательство кубичного закона взаимности, основанное Ш
конечных полях, приводится также в статье Skolem [6]. Сум Гаусса
используются, кроме того, в законе взаимности, пр| надлежащем Вестерну
(Western [1]) и в так называемых ран ональных законах взаимности,
рассмотренных в статьях Eva; [9], Leonard, Williams [6] и Williams К. S.
[34]. Об оценке рой сумм Гаусса в законах взаимности см, Weil [11].
Интересные соображения об общих законах взаимности пр ведены в книге
Hasse [16] и обзорной статье Wyman [1 ]. Другр тип законов взаимности,
связанных с конечными полями, сматривал Дедекинд (Dedekind Ц]), который
установил квадр тичный закон взаимности для нормированных неприводи
многочленов над конечными простыми полями; см. также [1] и
Vaidyanathaswamy [1]. Высший закон взаимности это типа для произвольных
конечных полей был получен (Kuhne [1]) и затем переоткрыт Шмидтом
(Schmidt Г. К
•85
Ш
J!
Комментарии
299
и Карлицом (Carlitz [1], [2]); см. также Carlitz [43, Ore [63,
pocklington [2], Schwarz [2] и Whiteman [1].
Большое количество работ о суммах Гаусса с кубичными характерами
появилось в связи с давней гипотезой Куммера. Куммер (Kummer [2 3} на
основании вычислений, проделанных в статье Kummer [1], выдвинул гипотезу,
что для мультипликативного характера ф порядка 3 простого поля fp, где р
= 1 (mod 3), числа попаданий величины G (хр, Xi) P~i/2 в ТРИ подмножества
единичной окружности
стремятся к отношению 3:2: 1 при р оо. Однако более основательная
вычислительная работа, проделанная многими авторами (например, von
Neumann, Goldstine [1], Beyer [I], Lehmer E. [5], Cassels [2], Froberg
[13), склоняла к выводу, что предельное отношение ближе к 1:1:1.
Теоретические результаты Морено (Moreno С. J. [13) и Паттерсона
(Patterson S. J. [3]) также указывали на это. Наконец, Хит-Браун и
Паттерсон (Heath-Brown, Patterson [1]} преуспели в доказательстве гораздо
более сильного утверждения, а именно что значения G (ф, Xi) Р"1/2
распределены равномерно на единичной окружности, когда число р пробегает
все простые числа, сравнимые с единицей по модулю 3. Это доказательство
построено на более ранних работах Куботы (Kubota Т. [51, [6]) и
Паттерсона (Patterson S. J. [1], [2 3). См. также Deligne [53, где
результаты Паттерсона рассматриваются с другой точки зрения. Более ранияя
попытка А. И. Виноградова [II опровергнуть гипотезу Куммера оказалась
неудачной. Мэтьюз (Matthews С. R. [11) доказал формулу, высказанную ранее
Касселсом (Cassels [3], [4], [5]) в качестве гипотезы, согласно которой
значение кубичной суммы Гаусса над простым полем Гр равно
где J (ф, ф) - сумма Якоби (см, § 3), а И (ф) - произведение значений зр-
функции Вейерштрасса. Простой алгоритм для вычисления этого выражения
предложен в статье McGettrick [1]. О дальнейших результатах по кубичным
суммам Гаусса см. Hasse [15, ch. 203, Kratzel [11, Loxton [1], [2], [3] и
Решетуха И ]. а также обзорную статью Berndt, Evans [4].
Мэтьюз (Matthews С. R. [2]) доказал справедливость формул, предложенных
