Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
5.53. Пример. В примере 5.25 мы показали, что каждое простое число р,
сравнимое с 1 по модулю 4, можно представить в виде р = А2 + В2, где А и
В - целые числа. Легко видеть, что одно из этих целых чисел, скажем Л,
должно быть нечетным, а Другое должно быть четным. Поскольку знак А можно
выбрать произвольным, то можно считать, что А = -1 (mod 4). Покажем
теперь, что это число А можно найти непосредственно, используя подходящим
образом взятые суммы Якобсталя.
Пусть Я - мультипликативный характер порядка 4 поля Fp-Тогда из равенства
Я3 = Я и теоремы 5.52 следует, что
Нг (1) = х (-1) (/ (А., Г|) + J (Х\ Г))) = X (-1) (J (X. Г)) + 7(М)) =
= 2Я (-1) Re J (Я, г)),
288
Гл. 5. Тригонометрические суммы
где Re J {%, г)) - zb(i/2) Я2 (1). С другой стороны, в примере 5.25 мы
видели, что р - (Re J (X, т]))2 + (Im У (X, г]))2. Теперь пока жем, что
(1/2) Я2 (I) = -I (mod 4), Так как, согласно замечаний 5.13, г) (-1) = 1
для р = 1 (mod 4), то мы можем написать
р-j
<
Г.Ч
Щ 1
яа(1)
Е Ч (с) Ч (са 4- 1)
С=1
(р~D/2
? Т| (С) Т| (С2 4-
с^\
(Р-0/2
2 ? Г| (с) п (с2
С- 1
О
(р~1)/2
? Г}(-С)Г|(^+ 1) €^=1
п.
так что
1
".(1)
Из теоремы 5.48 получаем
р-1
- 1 -
2 Ч (с) Л ("*+!)•
$
'Jit
гС.
K'i'J
. 'Щ ¦ д><
: Vft
Ч<Л .'% } у!'
(5.7 J)
e=t
.
* Vi <' •!?
Kvrk
? 4(c* '
c-0
1) = i
(p-l)/2
2 ? 4(r
e=t
1).
откуда
i
(p~ t)/2
? Tj (c2 -J- I). ?-1
(5.72)
Вычитая (5.72) из (5.71), получим
(P-U/2
"П
1
н* (1) + 1 = 2 (Ч (с) - 1) г, (с2 + 1).
?я=г]
Для 1 < с < (р - 1)/2
(г) (с) - 1) (г) (с2 + I) - 1) = 0 (mod 4), если т| (с2 + 1) Ф О"
так как оба сомножителя слева четны. Таким образом,
(т| (с) -- 1)г) (с2 + 1) ^ г) (с) - 1 (mod 4), еслиг) (с2 + 1) =5^0. |
Случай г) (с2 4- 1) = 0 имеет место тогда и только тогда, когда с2 = -1
(mod р), а это сравнение имеет единственное решение С|* 1 < Ci (р - i)/2.
Следовательно,
(P-U/2 (р-1)/2
I
я*(1) + |= 2 (*п(с) - о = 2
1) - (л (ci)
1)
Г) (с,) (mod 4).
'
Ш
"Щ
§ 5. Дальнейшие результаты о суммах значений характеров
289
Кроме того,
о=?чМ = 2 ? 4W
С- 1 c=l
" " (Cl) = X* (с,) - X (ei) = X М>' так чт0
4-Н.(")+ 1 s -^--X(-i)(mod4)
Теперь из замечания 5.13 следует, что
f 1, если р = 1 (mod, 8),
^ \ -1, если р = 5 (mod 8),
причем
1 (mod 4), если р = 4 (mod 8),
- 1 (mod 4), если р ~ 5 (mod 8),
так что (1/2) tf2 (1) + 1 ^ О (mod 4) и (1/2) Я2 (1) = -1 (mod 4).
Значит, А - (1/2) Я3 (1).
Можно показать, что при нормировании А ~ -I (mod 4) целое число А
определяется однозначно. Допустим, что р = Аг Аг Я2 - С2 -f~ Я2, где А и
С нечетны, а Я и Я четны. Если Я, k ? Z таковы, что А = hB (mod р), С =
&Я (mod р), то из Д2 4" Я2 = С2 + D2 = 0 (mod р) следует, что К1 4-1 ~ Я2
4-4-1 = 0 (mod р), откуда С ±&Я (mod р). Таким образом, можно написать С
= ±Сь где Cj ЙЯ (mod р). Тогда в равенстве
р1 = (4s 4- яа) (CJ 4- Я>?) - (АС, 4- BDf 4- (AD - ВС,)*
числа в скобках справа кратны р. Деля обе части па р2, мы получаем
выражение, представляющее единицу в виде суммы двух квадратов целых
чисел. Это возможно лишь в случае, когда 1 -
( + I)2 4- О2. Таким образом, AD - BCi = 0, и так как НОД (Л, Я) = НОД
(Сь D) - 1, то А - ±СЬ откуда А = ±С. Если, кроме того, А ~ С = -I (mod
4), то А - С; таким образом, число А однозначно определено.
Выше мы показали, что этим единственным целым числом А является (1/2) Яа
(I), и тогда целое число Я определяется однозначно с точностью до знака.
Используя то же рассуждение, что и в начале этого примера, нетрудно
показать, что в качестве числа В можно взять (1/2) Я2(а), где а - такой
элемент поля fp, что Tj (а) = - 1. ?
Существует замечательная связь между суммами значений квадратичного
характера г\ и алгоритмом разложения в непрерывные дроби для рациональных
функицй над полем Fg (т. е. для Дробей вида fig, где/, g ? Fg lx], g Ф
0). Нам понадобятся лишь элементарные сведения из теории таких
непрерывных дробей,
^ Зак. 222
290
Гл. 5. Тригонометрические суммы
*у А
которая совершенно аналогична классической теории непрерыв* ных дробей
для рациональных чисел. Алгоритм разложений рациональной функции в
непрерывную дробь является по суще* ству алгоритмом Евклида,
рассмотренным нами в § 3 гл. 1. Мы! слегка изменим обозначения с учетом
потребностей настоящего! момента.
Пусть г0 и г3 - два произвольных многочлена из кольца Fч [х], причем г{ Ф
0. Применяя алгоритм Евклида, можно!
написать г" = Айгл -f г2, гг - Лгг2
г
i* i+l
i+S
ДЛЯ
r:t н вообще
i 0, 1,
s,
где 0 < deg (ri+1) < deg (rf) для / = 1, s, и r3+2 = 0- Здесь A$\ Ai, As
- некоторые многочлены иад полем Fr/. причем Ль 4^ обязательно имеют
положительные степени. Из равенств (5.71 получаем
г+1
А*
1
i+lfrг+2
ДЛЯ t
of п
< t у
s
и
¦ y/f
и rjr8+j = As. Отсюда следует, что
Га 1
о Гг
Гх
А
0
Н/б
Ш
= /4о +
1
itx
Ш
Аг +
1
'Хз'Щ
Г г!г*
¦Ai
и, продолжая таким образом, в конце концов получим
*.>>Л
о
А0 ~{~
1
1
- Ио. ^1" Аъ
а8}9
Аг +
r'Av
..V>.
• • - К
+
1
д
. УД
где символ в правой части - это сокращенное обозначение ложения в
