Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
нахождения таких оценок принадлежит Степанову [2], [7] и Шмидту (Schmidt
W. М. [1 ], 13]); ср. с комментариями к § 4 гл. 6 Менее точные оценки для
сумм значений характера из теоремы 5,41 ранее были установлены в статье
Davenport [7], а для некоторых частных случаев- в работах Davenport il],
[2], [3] и Виноградов И. М. Ш|. Оценка из теоремы 5.41 является наилучшей
возможной общей оценкой (см. Schmidt W. М. [3, ch. 2]). Случай, когда /
является трехчленом, был рассмотрен в статье Опо [7]. Относительно
результатов о сумме из теоремы 5.41 для случая, когда ф - квадратичный
характер, см. также § 5 и примечания к нему. Некоторыми авторами
изучались так называемые гибридные суммы, т. е. суммы вида
Е ф (f(c))i(g(ч)>
Где /, g С Fq [я], ф - нетривиальный мультипликативный, ах -
нетривиальный аддитивный характеры поля Fq. Оказывается, что такие суммы
(если исключить тривиальные случаи) также имеют порядок роста не более
qx^\ см. Schmidt W. М. [3, ch. 2] и Перельмутер [1], [2]. Подобные суммы
рассматривал также
Вильямс (Williams К. S. [20]).
Интенсивному изучению подверглись суммы значений таких хнрактеров,
аргументами которых являются многочлены от не-еколькмх переменных. Для
случая двух переменных пусть f ? € Р, [х, у ]-многочлен степени п 4> 2,
который невырожден в том смысле, что нельзя с помощью невырожденного
линейного лРеобразования переменных перевести его в многочлен от одной
временной. Для случая нетривиального аддитивного характера %
20*
308
Гл. 5. Тригонометрические суммы
** у.
.ш
¦?>ц
• '$*>
ад
поля в статьях Hua, Min [21, [3] установлена граница суммы значений этого
характера
S Xific.d)),
'.<"6 IF,
имеющая порядок д2~{2/п\ и тем самым существенно улучш полученная раньше
оценка Камке (Кашке П ]). Для случая п Хуа и Мин (Hua, Min [2], [31)
получили еще лучшую границу порядка см. также работу Davenport, Lewis
[11, где прив* тот же результат. Наилучший возможный порядок q для слуц|
п 3 получен в статье Bombieri, Davenport [I 1, но для некотор специальных
кубических многочленов это было показано рщ Морделлом (Mordell [III,
[181), Суммы значений характер с кубическими многочленами от двух
переменных рассматр лись также Карлицом (Carlitz [122J). Некоторые
простейЩ; гибридные двойные суммы, т. е. двойные суммы, содержа и
аддитивный, и мультипликативный характеры, были изуч в статьях Chowla S.
[211 и Chowla, Smith [11. Дэвенпорт и Лью' (Davenport, Lewis [II)
получили оценку для суммы
о;
1;|Д
Ж
¦Ж.
? .j
1' Й' 3 ^ u rt
ег,
X (f (с" с2, с,))
наилучшего возможного порядка q2 в случае, когда % - тот характер, что и
выше, a f - кубический многочлен над F<$ трех переменных, который
невырожден, т. е. не может быть веден в многочлен от меньшего числа
переменных никаким,^ вырожденным линейным преобразованием переменных; см.
та Mordell [15 3 о некоторых частных случаях.
Для произвольной суммы вида
S(f) =
t * * * t
X (/ (fit * - * j ^r))>
cr G
• Щ
..w
-'j.;
•••
...
№
где f С Fg [xlt Бомбьери (Bombieri [31, [41) дока
аналог теоремы 5.36. Аналогичный результат для мультиплй тивпого
характера установлен Перельмутером [31. Нетривиа пые оценки для сумм S
(f) были получены в статьях Min Uchiyama [71, но настоящим достижением
явилась фундаас тальная статья Делиня (Deligne [3 3), где была подтверждё
гипотеза Вейля для случая алгебраических многообразий н конечными полями
(ср. с комментариями к § 4 гл. 6). Из ра Делиня вытекает, что если
степень п многочлена f не делится характеристику р конечного ноля fq и
однородная часть степенйу многочлена f в некотором смысле невырожден на,
то
| S (/) |< [п - 1)- <f!*
Комментарии
309
(см. Deligne [3], [6], Katz [4, ch. 5], Serre [3]), - справедливость
этого результата предугадал Бомбьери (Bombieri [4]). Делинь (Deligne [4])
обобщил упоминавшийся выше результат Карлица и Утиямы следующим образом:
если многочлен / ? ? jf4 \xlt хг] произвольной степени п нельзя
представить в виде gp - g + Ь, где g ? FQ [xlt .... xrh b ? fq, to
|S(/)|<(n- \)<f-Q№.
Подробное исследование сумм S (f) проводится в книге Katz [4]. Легко
показать, что средний порядок роста абсолютной величины | S (/) | равен
qr/2 (см. Carlitz [47]). Оценки для многочленов f специального вида были
даны раньше, чем появилась упомянутая работа Делиня; см. Davenport, Lewis
fi] для случая кубического многочлена f, Mordell [14] для случая
нл h к 1 fe
f ¦ *¦ * ^г) axxi '-j- ¦ - - "j" ct-fXr -J- bx\ * Xf t
Mordell [24 ] для случаев
" . . тлт
f {xь ¦ * - * %r) - i&'iXi &rXr) * - - Xf
и
f(xb ¦ .Xr) = g{x\, * ¦ - , xf),
где g-квадратный многочлен, и Опо [2] для случая, когда многочлен /
является полуинвариантом некоторой связной алгебраической группы. Если /
- квадратичная форма, то суммы S (f) можно вычислить в явном виде (см.
упр. 6,27-6.30). О когомологических интерпретациях суммы S (f) см. Katz
[4, ch. 3] и Springer [4]. Общий подход к этим суммам был осуществлен в
статье Оно [1 ]. Относительно сумм с мультипликативными характерами и
