Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
ш
ж
емое неравенство.
Чтобы гарантировать выполнение теоремы Вейля, на член / приходится
наложить определенное ограничение, что еслн НОД (л, q) > 1, т. е. если
степень deg (/) многочлена^ делится на характеристику р поля Fq, то могут
возникнуть onpff деленные осложнения. Рассмотрим, например, случай, кор /
(х) - хр - X и х = Xi - канонический аддитивный характер поля |F7,
определенный условием (5.6). Тогда в силу свойств" функции абсолютного
следа, полученного в теореме 2.23 (vj Xi (/ (с)) J для всех с ? Fe, так
что оценка в теореме Вейд неверна при q ^ р2. В более общем случае
аналогичная ситуаци возникает, когда многочлен f имеет вид / ¦= g? - g -f
Ьу г g 6 ' F7 [х\ и Ь ? 1Г7. Однако если / имеет вид, отличный :
приведенного, то оценка в теореме Вейля для такого многочлен^ сохраняет
силу, даже еслн его степень делится на характеристик^ поля Fg (см.
комментарии).
Применяя аналогичную технику, мы можем исследовать; суммы
мультипликативных характеров. При этом снова целесО разно расширить
область определения мультипликативного рактера ф поля fq до всего этого
поля, положив ф (0) ^ 0 Щ нетривиального н ф (0) ^ 1 для тривиального
характера Кроме того, следует заметить, что любой мультипликативна
характер ф поля можно поднять до расширения Е поля Fg, воспользовавшись
формулой ф<8> (р) = ф (N^p^ ФГ
для р ? Е.
5.39. Теорема. Пусть ф -
ш
v?u>
Ш
??>&
.
ш.
- мультипликативный характер пс рядка т > 1 поля Fg, и пусть f ? Fq [х] -
нормированы^
многочлен положительной степени, который не является степенью какого-либо
многочлена. Пусть d - число различи корней многочлена / в его поле
разложения над Fg, причем d ^ Тогда существуют такие комплексные числа
висящие лишь от f и ф, что для любого натурального числа s и. место
равенство:
? ?s}(fm = -
<#>;
0>d-i •
в
Доказательство. Мы пойдем тем же путем, что и при дока тельстве теоремы
5.36. Определим функцию X из множества
.<:ЙЧ
I
i Д Щ-
•: ¦ ::,4
V.
¦М"
е •• '.< <
т
Щ
¦Ш
§ 4. Суммы значений характеров
277
всех нормированных многочленов над полем fQ в множество комплексных чисел
с модулем, не превосходящим 1, положив сначалаХ(1) --= 1. Обозначив
черезподмножество миожестваФ, состоящее из многочленов степени k,
рассмотрим для многочлена g ? Фл, & > 1, результант R (g, f) при
формальных степенях, совпадающих со степенями g и / (см, определение
1.93). Тогда R (g, /) € lFg, и мы положим X (g) - ф (R (g, j)). Если
разложение многочлена g в его поле разложения иад имеет вид g (х) ^ (х -
oci) ... (х - ак), то, согласно формуле (1.10), R (?• /) - f (ai) ¦¦• /
(ah)> ^ак что можно написать
ь Ш) = (/ (ai) .../(аь)).
Тогда условие мультипликативности функции (5.18), очевидно, выполняется.
Пусть
- каноническое разложение многочлена f в ?ч [х], где ...
f, - различные нормированные неприводимые многочлены нз ?д \х]. Согласно
упр. 1.66, R (g, f) = (-I)кп R (f, g), где n - ^ deg (/). Вновь применяя
формулу (1.10), получим
R(g.f) = (-•)*" R (h. g)'1 • • • Rtfr, g)'r- (5.62)
Пусть di ~ deg (/*) для 1 < / < r, Et - расширение поля
такое, что [Ei : - dt , и |3f - некоторый фиксированный
корень многочлена ft в ?*. Тогда все корни многочлена задаются
сопряженными с (J* относительно поля элементами, так что
R (U. 8) - g (РО g (Р?) ¦ ¦ • g(p? ' ) = %г/Г, (g (РО). 1 < ' < г.
С учетом (5.62) мы получим
(8) = * ((-!)*") (fl?l/Ff(В(РО)) • • • ^ (N?r/Fe (g(РО)) =
= ЧЧ (g (Pi)) ' • • tf (g (Pf)). (5.63)
где ?h =-- ф ((-l)ftrt) и для 1 < i ^ г т( - поднятие мультипли-
кативного характера фе* до поля Et. Так как по предположению многочлен f
не является т-й степенью другого многочлена, то по крайней мере одно из
чисел ел ие кратно т; значит, по крайней
мере один из характеров ф<ч, а следовательно, и характер т* нетривиальны.
Рассмотрим теперь сумму
? х'й)
*еф"
278
Гл. 5. Тригонометрические суммы
&
для k d. Заметим, что d - dt + ... + dr. Пусть отображение Щ Фк Ei X ...
X Ег определено условием
S(g) =¦ (в (Pi), g (в,)) ДЛЯ g ? Фк.
<1 /
Пусть задан r-иабор (vlt vr) ? Ех х ... х Ег. Каждый эл^| мент vit 1 < i
г, можно представить в виде vt - ht (р/), г ~ hi ? [х]. Равенство S
(g) - (vu vr) выполняется тогД
и только тогда, когда многочлен g является решением систе сравнений
g = ht (mod /*), i = 1,
r.
На основании китайской теоремы об остатках (см. упр. 1,3 эта система
сравнений имеет единственное решение G ? степени deg (G) < dx + ... + dr
= d. В таком случае все решен g € Фи ЭТОЙ системы имеют вид? = Fft ... /,
+ G, где/7 - прои вольный нормированный многочлен над Fg степени k - d.
По$ скольку существует ровно qk~~a возможностей выбора этого гочлена F>
то существует в точности qk~d таких многочлен g С Фд, что S (gj = (g
(Pi), g (p,)} = (Vj, ..., vf). Испол зуя этот факт и равенство (5.36),
получаем, что
? Mg) = ? Ti (Vi) ... тг (vr)
V* v,
vi С ?i
k-d
? Ti (Vi'
* •
V,C?,
/
2j (v,)
v, € ?r
0,
: .'X'
1 Щ
Г
••'ii
так как хотя бы один из характеров т/ нетривиален (как отмечено ранее).
