Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Остается рассмотреть исключенный выше случай, когда р и q одновременно равны нулю в тот момент, когда вершина гироскопа достигает крайней параллели. Заметим прежде всего, что до тех пор, пока вершина не достигла параллели, ее скорость при s SgjiO не может исчезнуть, так что р и q не могут одновременно быть равными нулю. Для того Фиг. 19.
чтобы, далее, соответственно одному из двух
корней s = S1 или S = S2 было P = Q = 0, необходимо, чтобы для такого корня удовлетворялись на основании первых интегралов (44'), (45') оба уравнения:
k — cXs = 0, s-\-h — сА2 = 0,
из которых следует условие
jL. = c)»--h; (52)
общая величина этих двух выражений как раз и дает корень, о котором идет речь, наверное, заключенный (что следует отметить) между —1 и -|-1- Далее, при условии (52) из уравнений (45'), (48) будеТл иметь
Pa+ 9а = (45"}
s'2 = iL (cXs — k) {I —s2 — ck (cls -f k) ;, (48")
так что равенство (51) принимает в этом случае вид
„ Л , cls — k cos a = I — CA -------і- ,
1 —Si
откуда заключаем, что когда s стремится к своему крайнему значению k/cl, то cosa стремится к 1, а это значит, что касательная к траектории вершины стремится расположиться ортогонально к параллели. Другими словами, при указанных условиях траектория вершины гироскопа в точках, общих у нее с данной параллелью.
120
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
имеет точки заострения, в которых она касается соответствующих меридианов (фиг. 20).
Важно добавить, что такой случай может представиться
только на верхней параллели. Чтобы подтвердить это, достаточно
проверить, что в рассматриваемом здесь предположении (52) k/ck для многочлена f(s) в правой части уравнения (48') является меньшим из двух простых корней, заключенных между — 1 и +1. Для этой цели заметим, что множитель второй степени многочлена f(s)
при s = k/ck положителен и становится отрицательным как при 5 —> — сю, так и при s -> оо, так что он имеет два корня, один из которых меньше k/ck, а другой больше.
Далее, первый из этих двух корней является
наименьшим из трех корней многочлена f(s)
и, конечно, будет меньше—1 (предыдущий пункт); поэтому заключаем, что в настоящем случае корень многочлена /($), который вместе с k/ck дает границы колебания функции s, является как раз корнем, большим k/ck. До сих пор мы исключали два случая: Фиг. 20. сА. = i±r &, в которых одна из двух крайних
параллелей, а именно нижняя параллель в первом случае (?= 1) и верхняя параллель во втором случае (S1 =— 1), сводится к точке (соответственно южный или северный полюс).
Поступив теперь так же, как в общем случае, легко увидим, что
если ck = k и, следовательно, S2= 1, то вершина гироскопа перио-
дически приходит в полюс (южный) в направлении меридиана и со скоростью, необходимо отличной от нуля, так что всякий раз она продолжает свое движение и касается затем крайней параллели, соответствующей значению S1 > — 1.
Если, далее, будем иметь ск = — k и, следовательно, S1 = — 1, то вершина, как и в предыдущем случае, может стремиться к полюсу (северному) только в меридианном направлении, но при этом возможны два случая: или вершина действительно приходит к полюсу со скоростью, отличной от нуля, и, следовательно, продолжает свое периодическое движение, чтобы затем прийти в соприкосновение с соответствующей параллелью S2 <1, или (имея при S1 = —1 двойной нуль многочлена f(s) типа г) предыдущего пункта) приближается асимптотически к этому полюсу.
32. Случай кратных корней. Установившиеся движения. Возвращаясь к последнему замечанию п. 30, рассмотрим предположение, что многочлен / (s) в замкнутом интервале от —1 до -pi допускает кратный корень.
Если исключить сначала частный случай ck = ~—k, то речь может идти только о двойном корне S0 (п. 30), изолированном в том
§ 6. ТЯЖЕЛЫЙ ГИРОСКОП
121
смысле, что многочлен / (s) во всякой другой точке интервала будет отрицательным. Мы будем иметь в этом случае меростатическое движение, в котором s будет сколь угодно долго сохранять свое начальное значение s0. Это значит, что гироскопическая ось все время будет образующей конуса вращения вокруг вертикали с углом при вершине 260 = 2 arc cos S0 (или, в частности, будет совпадать с вертикалью, направленной вниз, если cX~k и S0= 1 есть двойной корень). Легко видеть, что движение твердого тела сведется к регулярной прецессии (т. I, гл. IV, п. 15) или, как предельный случай, к равномерному вращению вокруг гироскопической оси, направленной вертикально вниз. Действительно', из равенства J3 = S0 на основании интеграла (45') живых сил следует, что будет постоянным также Yp2 H- Я2’ т- е-модуль е экваториальной составляющей е угловой скорости о>. С другой стороны, второе из уравнений (35'), приводящееся при постоянноім J3 к равенству
выражает пропорциональность р и q величинам и J2; поэтому можно написать
принимая во внимание, что х = J1Ifa/ + Ts^> получим окончательна
Ha основании этого выражения экваториальной составляющей угловой скорости, последней можно придать вид
