Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
^Ti Въ ^Ts
Ti Ta Ts
X0 Уо
так что по известной теореме *) они сами будут равны нулю.
Предположим пока, что образующая g, приведенная к совпадению с нисходящей вертикалью, будет отлична от прямой OG и от каждой из главных осей инерции х, у, Zt чем будет исключено то обстоятельство, что косинусы Ti, Т2> Ts пропорциональны лг0, у0, Z0 или что два из них одновременно равны нулю.
При этих ограничениях уравнения (40) однозначно определяют v2 в функции от Tl, Ta- Ts
уа __ р (TazQ ~ ЬУо) _ P (ЪЧ — '(IZ0) _ P (TiJ7O — Тг*о)
(В — С) YsTa
(C-A) ГзП
(А — В) -J1I2
(400
Если полученное таким образом значение v2 будет положительным, то мы непосредственно видим, что вокруг образующей g с направляющими косинусами Ti, Та> Тз> расположенной вдоль нисходящей верти-
*) Cm., например, Э. Ч е з а р о, Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых, ч. I1 1913, п. 34, стр. 29.
110
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
кали, для твердого тела возможны два перманентных вращения с угловыми скоростями ± V. Если, наоборот уравнения (40') для v2 дадут отрицательное значение, то твердое тело не может равномерно вращаться вокруг образущей g, расположенной вертикально и направленной в первоначально выбранную сторону. Ho достаточно будет изменить ее направление на противоположное *), чтобы изменили знак» все три направляющих косинуса ^2, Тв> и тогда уравнения (40') дадут для V2 положительное значение.
Этим и доказано наше утверждение, за исключением случая, когда образующая g совпадает с прямой OG или с одной из главных осей инерции твердого тела относительно точки О.
Если теперь прямая OG располагается вертикально, т. е. если имеем Ti :?а jYa = jfO 1JV2rO* т0 уравнения (40') дадут v = 0, какова
бы ни была сторона, в которую обращен вектор OG на вертикали; мы приходим, таким образом, к двум известным случаям равновесия.
Если, далее, совместим с вертикалью одну из главных осей инерции, то одно из уравнений (40) сведется к тождеству, а два других окажутся противоречивыми (поскольку в них V рассматривается как конечная величина).
Будем, однако, переходить к пределу, представляя себе сначала одну из образующих g конуса Штауде, близкую к какой-нибудь главной оси инерции, например к оси х (с направляющими косинусами 1, 0, О), расположенной вертикально и направленной в надлежащую сторону, и будем неограниченно приближать эту ось к вертикали. Это равносильно предположению, что направляющие косинусы ^1, ^2, -(в ПРЯ" мой g стремятся соответственно к 1, 0, 0; в силу этого, в то время как первое из уравнений (40) будет стремиться к тождеству, второе или, безразлично, третье дадут для v2 значение, стремящееся к положительной бесконечности. То же самое остается в силе и для двух других главных осей инерции; поэтому в виде теоретической интерпретации действительного случая весьма большой скорости можна сказать, что главные оси инерции, расположенные вертикально в надлежащую сторону для твердого тела, будут осями вращения с бесконечными угловыми скоростями (как в одну, так и в другую сторону, безразлично) (фиг. 17).
Поэтому заключаем, что всякая образующая конуса Штауде для твердого тела является осью равномерного вращения, если только надлежащая сторона этой образующей совпадает с нисходящей вертикалью-, при этом абсолютная величина угловой скорости | v[ определяется однозначно, а направление вращения остается произвольным (обратимые перманентные вращения). Только для прямой, проходящей через центр тяжести (соответственно двум случаям
*) После такой перемены направления на образующей с нисходящей вертикалью будет совпадать другая ее половина. (Прим. ред.)
§ 6. ТЯЖЕЛЫЙ ГИРОСКОП
111
равновесия), оказывается безразличным, какое из двух ее противоположных направлений совпадает с нисходящей вертикалью.
Предыдущим оправдывается название перманентных осей вращения, которое дают в случае твердого тела, закрепленного в одной точке, образующим конуса Штауде, включая, как соответствующие предельным случаям, главные оси инерции и прямую 1J, проходящую через центр тяжести.
§ 6. Тяжелый гироскоп
27. Дифференциальные уравнения движения. Мы будем рассматривать здесь один из тех случаев, когда благодаря некоторым частным предположениям (которые можно оправдать на основании физических соображений) удается указать для уравнений движения тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке, существование еще одного первого интеграла и, следовательно, на основании теоремы Лиувилля, упомянутой в п. 24, привести задачу к квадра- Фиг. 17.
турам.
Случай интегрируемости, на котором мы хотим здесь остановиться и который указан еще Лаграйжем и более глубоко изучен Пуассоном, представляется наиболее простым и наиболее ясным с физической точки зрения.
Речь идет о движении тяжелого гироскопа, закрепленного в какой-либо точке О своей оси, отличной от центра тяжести О. Согласно определению п. 17 гл. IV, гироскопом мы называем всякое твердое тело, центральный эллипсоид инерции которого есть эллипсоид вращения; необходимо вспомнить, что для такого твердого тела эллипсоидом вращения будет также и эллипсоид инерции относительно всякой другой точки оси; обратно, чтобы заключить, что какое-нибудь твердое тело является гироскопом в этом смысле, достаточно знать, что оно имеет гироскопическую структуру относительно одной из своих точек О и что центр тяжести G принадлежит соответствующей оси.
