Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Так как при всяком действительном вращении из уравнения (68') определяется только квадрат угловой скорости v2, то вращение может происходить как в ту, так и в другую сторону, как и в случае тяжелого твердого тела с какой угодно структурой (п. 26).
Принимая еще во внимание уравнение (68'), можно добавить, что исключенное ранее предположение 0 = тг/2 (экваториальная ось вращения), рассматриваемое как идеальный предельный случай в смысле,
132
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
разъясненном в п. 26, приводит к вращениям (обратимым) с бесконечной угловой скоростью.
Предположим теперь, что желательно задаться угловой скоростью v. В этом случае необходимо принять во внимание, что соответствующее значение, даваемое, уравнением (68') для cos 6, должно быть заключено между —1 и -j-І (за исключением концов), так что выбор V остается подчиненным условию V2 > Pz0/1А — С|. Другими словами, во всех равномерных вращениях тяжелого гироскопа вокруг прямых, отличных от его оси, абсолютное значение угловой скорости не опускается ниже критического значения (зависящего от распределения масс в гироскопе)
Резюмируя, можно сказать, что тяжелый гироскоп может совершать бесконечное множество равномерных и обратимых перманентных вращений. Все эти вращения имеют своей осью в пространстве вертикаль, проходящую через закрепленную точку. Если вдоль этой вертикали располагается гироскопическая ось, безразлично, вверх или вниз, то угловая скорость и сторона вращения остаются совершенно произвольными; всякая другая прямая в теле гироскопа, проходящая через О, может быть осью перманентного вращения только тогда, когда оца располагается вдоль вертикали в одном вполне определенном из двух возможных направлений, после чего будет однозначно определено абсолютное значение соответствующей угловой скорости (но уже не меньшее некоторого заданного критического значения).
36. Имея в виду исследование устойчивости, которым мы будем заниматься в ближайшем параграфе (§ 7), возьмем снова уравнение (48), чтобы посмотреть, каким условиям должны удовлетворять постоянные интегрирования X, h, k, для того чтобы движение гироскопа сводилось к перманентному вращению BOKpvr гироскопической оси, расположенной вертикально.
В то время как величины h и k согласно их определению (п. 28) дают каждое, по крайней мере с точностью до множителя однородности, постоянные E н К\ интегралов живых сил и момента количеств движения, величина X = г/р есть отношение между постоянной угловой скоростью (произвольной) г перманентного вращения и постоянной р, которая является характеристикой рассматриваемого гироскопа и имеет размерность угловой скорости. Поэтому, принимая это р за единицу угловой скорости (естественная единица для угловой скорости гироскопа), можно истолковать X как меру угловой скорости, относящейся к перманентному вращению гироскопа. Естественно, что X так же, как и г, можно задавать произвольно, но во всяком перманентном вращении гироскопа вокруг его вертикально располо-
§ 6. ТЯЖЕЛЫЙ ГИРОСКОП
133
женной оси s = cos 0 должно оставаться сколь угодно до лго равным -J-I или —1, смотря по тому, будет ли ось гироскопа обращена вниз или вверх. Мы знаем, что для того, чтобы уравнение (48) допускало такое решение, необходимо и достаточно, чтобы зн а чение 5 = -)-1 или S = — 1 было двойным корнем при заданном зна чении X многочлена f, что, как известно, выражается двумя условиями
/(=±=1 I A, h, к) = О,
Далее, эти два уравнения можно рассматривать как систему, пригодную для определения в функции от X значений двух других постоянных h и k, которым соответствует перманентное вращение гироскопа со скоростью Xp вокруг гироскопической оси, расположенной вертикально. Обозначая через h и k эти два значения, из выше-написанных уравнений получим
h= сА2±1, k = ±zcX, (71)
где надо брать одновременно или верхние знаки, или нижние, в зависимости от того, будет ли гироскопическая ось расположена вдоль нисходящей или вдоль восходящей вертикали.
37. Регулярная прецессия тяжелого гироскопа. Мы будем искать здесь возможные случаи регулярной прецессии тяжелого гироскопа, имеющие осью прецессии вертикаль, проходящую через закрепленную точку, и осью фигуры — гироскопическую ось. С этой цеяью применим снова прием, подобный тому, которому мы следовали в п. 35 при определении перманентных вращений (прием, примененный в п. 35, мог бы войти как частный случай в настоящее исследование).
Положим поэтому
to = )xk —f- vx, (72)
т. е. обозначим через |i и v постоянные составляющие ю по гироскопической оси и нисходящей вертикали или, как мы будем здесь говорить, собственную угловую скорость и угловую скорость прецессии тела. Подставляя выражение (72) в уравнение (65) и разрешая его относительно момента AT, найдем
AT = (А[а — [А — C]r)k-\- Avk, (73)
так что все сводится к ответу на вопрос, можно ли удовлетворить таким значением для AT динамическому уравнению (34j) движения тяжелого гироскопа, если г, у. и v являются постоянными.
Выполняя подстановку (73) в это уравнение и принимая во внима-
