Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
2) прямая OG, направляющие косинусы которой пропорциональны -?! Уо> *0;
3) прямая с направляющими косинусами, пропорциональными xJA, уо/В, zjС, которая по отношению к эллипсоиду инерции является диаметром, сопряженным с диаметральной плоскостью, перпендикулярной к OG, и поэтому на основании известного геометрического построения вектора е> по вектору К (гл. IV, п. 18) представляет собой линию действия вектора ю, когда вектор Af принимает направление прямой OG.
Далее, можно показать, что конус Штауде является просто конусом (который следовало бы назвать конусом Ампера J)) прямых, выходящих из О и представляющих собой главные оси инерции
1O Андре Мари Ампер родился в Лионе в 1775 г., умер в Марселе в 1836 г., был назван Ньютоном электродинамики за открытие и классически совершенную иллюстрацию законов механического действия, развивающегося между проводниками (нитеобразными), по которым текут электрические токи (постоянные). В честь его была названа ампером единица тока (в абсолютной системе, принятой повсюду в электротехнике; ср. т. I, гл. VIII, упражнение 12). Кроме электромагнетизма, он связал свое имя также и с теорией уравнений в частных производных, в которой, как и в дифференциальной геометрии, был последователем Монжа.
Автор знаменитого Essai sur la philosophic des sciences (Париж, 1834). Ампер, классифицируя науки, выдвинул предложение, быстро всеми приня-тре, отделить от механики и назвать .кинематикой" ту часть ее, которая относится к описанию движения (рассматриваемого само по себе, независима от его причин).
Ампер был профессором математики в Политехнической школе, занимал кафедру физики в College de France, был членом Академии наук в Париже и т. п.
В тексте имеется в виду его Memoire sur quelques nouvelles proprietes •des axes permanents de rotation des corps et des plans directeurs de ces axes. Mem. de I’Acad, des Sciences de Paris, т. 5, 1821—1822, стр. 86.
108
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
твердого тела (каждая относительно одной из своих точек, которая, естественно, будет отличной от О, для всех осей, за исключением разве осей X, у, Z) *).
Для доказательства этой теоремы найдем условие того, чтобы прямая в твердом теле, выходящая из О и имеющая направляющие косинусы Yij Ї2> їз> была главной осью инерции относительно своей точки О', расстояние которой от О, неизвестное по величине и по знаку, обозначим через р, так что соответствующие координаты выразятся так: Py1, PY2, PY3-
Рассматривая теперь какие-нибудь оси O'x'y'z', связанные с телом и имеющие начало в точке О', а осью г' — прямую OO', будем иметь при надлежащих значениях косинусов Cti, y*
х' = OC1AГ -j- OL^y -{- asz,
/ = P і* + РіУ+Ри*.
2' = Iix+ЪУ + Ъ* — Р,
где (х, у, г), (х', у', z') суть координаты произвольной точки в системах Oxyz и O'x'y'z' соответственно. Условия того, чтобы прямая 00' была для твердого тела главной осью инерции, мы получим, если напишем, что соответствующие моменты девиации (центробежные моменты инерции) равны нулю
2 miy'iz'i = 0, 2 miz'ix'i = 0.
І І
Эти два уравнения в развернутой форме принимают вид
«і 04 Ti — ?mxQ) -f- ос2 (By2 — р/яУо) + «8 (cY3—?mza) = °>
PiO4Yi- ?тх0) + S2 (Sy2—рту0) + (38 (Cy8 — pmz0) = 0,
где т обозначает полную массу твердого тела. Они, очевидно, равносильны уравнениям
^Yi-P^o = 0Yi,
BY2-PWy0 = 0Y2,
Cy3-P^0 = Oy3,
где о обозначает множитель пропорциональности. Если исключим вспомогательные неизвестные р и а, то придем к уравнению (39') конуса Штауде.
26. Перейдем теперь к обращению результата предыдущего пункта, т. е. к доказательству того, что всякая образующая конуса Штауде, расположенная вдоль вертикали (и направленная в надлежащую сто-
J) Эта замечательная теорема (остававшаяся долгое время странным образом незамеченной в столь избитом вопросе) принадлежит W. van der Woude, Math. Zeitschr., т. 16, 1923, стр. 170.
§ 5. ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
109
рону), будет действительно для твердого тела осью перманентного вращения (с величиной угловой скорости, зависящей от направления этой образующей в теле).
Выберем на конусе Штауде образующую q, ориентированную по одному из своих направлений и имеющую относительно твердого тела направляющие косинусы Ti, ^2, Тз> и предположим, что она совпадает (также и по стороне) с нисходящей вертикалью, проходящей через точку О. По предположению, направляющие косинусы Ti, f2, J3 удовлетворяют уравнению (39'), и все сводится к тому, чтобы убедиться, можно ли при соблюдении условия (39') определить, по крайней мере, одно действительное значение V, которое удовлетворяло бы уравнению (37). Это векторное соотношение, после проектирования на подвижные оси, дает три линейных уравнения относительно v2 (уравнения Эйлера перманентного вращения тяжелого твердого тела)
(B-C) T2Tsv2 = P (Таго — TaVo)* (С-A) T3Tiv2 = P (TbxO ~ Ті*о)» (А — В) T1T2V2 = P (ъУо — Та*о)-
(40)
Эти уравнения при сделанных предположениях будут обязательно совместны, так как определители второго порядка соответствующей матрицы с тремя строками и двумя столбцами по исключении множителя P будут в то же время минорами взаимного определителя, по предположению равного нулю,
