Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, все гармоники ряда Фурье есть не что иное, как^
совокупность собственных' функций Гамильтона для случая U = 0,
- в этом случае уравнение Шредингера превращается в обычное
волновое уравнение (2.28), из которого мы и исходили.
Сопоставление соотношений (2.40), (2.41) и (2.42)
допускает и другое, более широкое толкование. Действительно,
можно представить, что полная, ортогональная система функций фь
. . ., ф" представляет собой системы ортогональных векторов в "-
мерном пространстве (где п большей частью бесконечно) и что
формула (2.41) представляет собой разложение вектора ф по
нормированным векторам этой системы; коэффициенты ам
являются обобщенными косинусами углов между векторами фй и
ф;. ^ ". га *
" A/v 1. .'/O-jC- I. <. 4
*) Кроме этого, кай упоминалось выше, условие нормировки требует,
чтобы
J ф,фГл"=1, (2.42)
поэтому (2.40) и (2.42) мы можем объяснить в одном равенстве:
где = 0 при i 4* k и 6j* <= 1 при i -k.
133
G этой точки зрения сами волновые функции, выраженные в
виде функций координат, являются косинусами перехода из
обычного пространства в пространство ф-функций; квадрат
косинуса, т. е. ф" (г) ф* (г), характеризует вероятность того, что,
находясь в данном фп-м состоянии, частицы имеют координату г.
Соотношение ортогональности (2.40) означает, что если частица
имеет энергию Ши и находится в k-ы состоянии, то она не может
одновременно находиться в t-м состоянии, и наоборот; иными
словами, это означает, что оба эти состояния при отсутствии
дополнительных воздействий (возмущений) стационарны.
Если же появляются какие-то дополнительные поля, а
следовательно, и соответствующие дополнительные члены (в
потенциальной энергии), то; они могут вызвать два следствия:1 1)
изменения^ в стационарных значениях энергии и соответствующих
им волновых функциях; это имеет место, если возмущение не
зависит от времени, например в эффектах Зеемана и Штарка, и 2) в
том случае, когда возмущение зависит от времени - при его учете
стационарные состояния перестают быть таковыми, появляется
вероятность переходов между ними. Наиболее характерными
примерами такого возмущения является воздействие на систему
электромагнитного излучения и столкновений.
Возмущение, не зависящее от времени. Уравнение Шре- дингера
решается точно для небольшого числа случаев, для сравнительно
простых видов потенциальной энергии Uо (г) и гамильтониана
- так называемый оператор кинетической энергии *'>.
*) Нетрудно убедиться, что применение этого оператора к вол' новой
функции свободного электрона
НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ
Н0 = Т + и0( г),
(2.44)
где
Щ
В тех случаях, когда вид потенциальной энериги О, а
следовательно, и гамильтониана более сложен, задачу приходится
решать приближенно. Это удается сделать сравнительно просто,
когда потенциальную энергию U можно разбить на две части:
U = U o + V, (2.46)
где Uо - вид потенциальной энергии, допускающий точное
решение;
V-небольшая добавка, которую называют возмущением.
В соответствии с (2.40)
Я = Я0 + V. (2.47)
Будем считать, что невозмущенное уравнение Шредингера
Н0ур° = ШУ° (2.48)
имеет Известные волновые^ функции rpj, ... и соответствующие
значения энергии .... Будем вначале
считать, что эти состояния не вырождены, т. е. каждому значению
энергии соответствует одна волновая функция.
Наша задача состоит в том, чтобы найти решения г|з1(
ф2, ... и соответствующие значения энергии %г, ...
для возмущенной задачи:
(Я" + У)ф = ?ф. (2.49)
При этом, так как возмущение невелико: V -С Я, можно ожидать,
что изменения волновых функций и энергетических уровней будут
также невелики, т. е. фт ф"
И Щт Ж §т.
Для нахождения решений уравнения (2.49) разложим его
решения по невозмущенным функциям ф°:
ф = 2атг|4; (2.50)
таким образом, наша задача сводится к нахождению
коэффициентов ат.
равносильно ее умножению на кинетическую энергию; операторы px=(h/2ni)
(д/дх), py = (h/2ni) (д/ду) и pz - (h/2ni) (д/дг) называются операторами
проекций импульса; применение их к этой же волновой функции
эквивалентно умножению на соответствующую проекцию импульса.
Подробнее о значении операторов в квантовой механике см. (6].
Подставив (2.50) в (2.49) и учтя (2.48), получим
2 ат {Ёат + V) = 2 (2.51)
т т
Умножив левую и правую части (2.51) на ф**и про-
интегрировав, получим
(Ё-П)аи = 1Ушат, (2.52)
где введено обозначение
vkm= \ wvrmdv, И' '
величина Vkm называется матричным элементом возмущения.
Будем решать уравнение (2.52), в котором неизвестными
являются коэффициенты ahm и значения энергии %т, методом
итераций (последовательных приближений), т. е. будем считать в
соответствии с (2.47) и (2.50), что
<? _ 4?о |_ ">1 I сег I
От - От "г От г От г • • •
И
О-т - О-m ~г ат "(-•••, (2.54)
где величины %\п и а'т того же порядка малости, что и
возмущение; Шт и а2т - величины второго порядка малости и т. д.
