Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы из (2.46) получить поправку первого порядка к л-му
уровню энергии Шп, положим (в нулевом приближении) а"- 1, а
все остальные коэффициенты равными нулю, тогда
Z $n-%°n = Vn = Vnn=\ dv = [ У|фп|2 dv. (2,55)
Таким образом, поправка к энергии л-го состояния равна
энергии возмущения, усредненной по всему пространству в
соответствии с плотностью распределения вероятности электрона в
пространстве в этом состоянии: wn = | фп |2. Полагая теперь k=v= п
и сохраняя в левой и правой частях
*) При V = const (т. е. в отсутствие возмущения) интеграл (2.53) в силу
ортогональности векторов лрА и i|jm равен 0. Таким образом,
Vkm характеризует, насколько возмущение "перекосило" по отношению
друг к другу эти два вектора, т. е. степень их неортогональ- ности.
(2.46) члены первого порядка малости, получим
= (2-56)
(c)ft (c)П
Выражение (2.49) дает более точный критерий применимости
теории возмущений:
Vhn<%l-%1, (2.57)
т. е. матричные элементы возмущения должны быть много меньше,
чем расстояния между соответствующими уровнями. Согласно (2^0)
и (2.56)
Ф*=ФЬ+2'*)• (2-58)
Для того чтобы найти поправку второго порядка к энергии,
сохраняем в (2.52) члены второго порядка малости; с учетом (2.49)
получаем
Шп'а'п = 2 Vnma2m, (2.59)
т
откуда согласно (2.56)
(Утп)2
е(0) ^(0)
уп - От
(2.60)
Рассмотрим теперь кратко случай, когда невозмущенное
состояние имеет вырожденные собственные функции ф?, фп', фп". •
• •, соответствующие одному и тому же значению энергии Как мы
уже упоминали, любая комбинация этих функций также будет
решением этого уравнения, соответствующим тому же уровню
энергии.
В этом случае действие возмущения приводит в первую очередь
к двум следствиям:
1) снимается полностью (или частично) вырождение,
2) стационарным решением уравнения Шредингера ста-
новятся не любые линейные комбинации вырожденных функций
фп', фП", ф. . . , а такие, изменения которых под действием
возмущения малы.
Подставляя в (2.52) последовательно п, п', п" и т. д. и
ограничиваясь первым приближением в энергии %п =>
•) Штрих при знаке суммы (2') означает, что суммирование проводится
по всем т, кроме т = п.
137
- Sn + и нулевым н коэффициентах разложения, получим
(2.61)
или
2(Vn".~r1) а""о а$ - 0.
(2.62)
Мы имеем систему однородных уравнений; условием сов-
местимости их является равенство нулю определителя:
Таким образом, раскрыв (2.63), мы получаем уравнение fc-й
степени (где k - кратность вырождения исходного уровня)
относительно <|№, которое имеет k корней; если все корни разные,
это значит, что возмущение сняло вырождение полностью, если есть
среди них одинаковые, значит частично.
Подставляя эти значения энергии в (2.62), получаем значения
коэффициентов айп, а% и т. д.
Нестационарная теория возмущений. Мы упоминали выше, что
при налиичии вырождения возмущение приводит к тому, что
стационарными состояниями становятся не любые комбинации
вырожденных состояний, а лишь такие, на которые возмущение
действует слабо.
Если же исходное состояние системы не удовлетворяет этому
требованию, то под действием возмущения начнется
"перемешивание", т. е. переходы в другие состояния с той же
энергией.
Если же возмущение периодически с частотой со зависит от
времени, то под действием его возможны переходы между
состояниями с различной энергией, удовлетворяющие резонансному
условию Бора:
В обоих упомянутых выше случаях возмущение является
причиной переходов; чтобы получить вероятность таких переходов,
мы должны исходить из уравнения Шредингера в виде (2.34а):
(2.63)
Н(о - S т Шп ¦
(2.64)
Н1 = 1*22-
(2.65)
Будем, так же, как ваше, считать, что оператор Гамиль тона можно
разбить на две части;
H = H0 + V, (2.66)
где Н0 - оператор, не зависящий от времени, для которого
стационарное уравнение Шредингера
Н0у° = ЕоГ (2.67)
имеет точные решения: ф° ... ...; V - небольшая до
бавка, которая может зависеть от времени.
Будем искать опять-таки решение уравнения (2.65) в виде
разложения по невозмущенным функциям:
4 = Sah4%, (2.68)
где символ 5 означает суммирование по дискретному и
интегрирование по непрерывному спектру и ф* включает в себя
временной множитель
Yfc = l*exp(-^f) (2.69)
и ak (t) - коэффициенты, зависящие от времени. Подставляя (2.68)
в (2.65) и учитывая, что Ч'ь являются решениями невозмущенного
уравнения, получим после умножения на и интегрирования по
пространству
ilp* = SVmk(t)dk, (2.70)
где
Vmk (t) ---= J W4^ dv. (2.71)
Соотношение (2.62) является точным и исходным для большого
раздела квантовой механики, так называемой теории переходов.
Мы же ограничимся здесь тем, что рассмотрим несколько частных
случаев, которые понадобятся нам в дальнейшем.
Воспользуемся, как и выше, методами теории возмущений, т. е.
представим коэффициенты ат (t) в виде разложения по порядку
малости
Ят~ ат -\~Qrn "Г вт + • • • (2.72)
