Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АСИММЕТРИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Понятие о симметрии вытекает из обобщения понятия о
движении твердого тела (или фигуры). Определим движение тела
как такую операцию, при которой расстояния между любыми двумя
точками твердого тела остаются неизменными. При таком
определении движения в него входят обычные физические
перемещения'.
- повороты вокруг точки и оси;
- трансляции, т. е. поступательное перемещение, при
котором все точки тела описывают одинаковые траектории;
10* 147
- винтовое движение, представляющее собой комбинацию
вращения вокруг оси (не обязательно проходящей внутри тела) и
перемещения вдоль оси.
Можно показать, что любое перемещение твердого тела можно
получить путем винтового движения, которое,
р
- X.
Рис. 2.3. Зеркальное
отражение в плоскости Р.
Рис. 2.4. Инверсия в точке с.
таким образом, является наиболее общим видом физического
движения тела.
При данном выше определении движения в него включаются
также другие виды преобразований:
-- зеркальное отражение в плоскости, при помощи которого
можно превратить правую фигуру (например, руку) в левую (рис.
2.3);
- обращение или инверсия (отражение в точке), т. е. такое
преобразование, при котором все координаты данной точки
относительно центра инверсии, выбранного за начало координат,
меняют знак (рис. 2.4): хг = - х, уг = - у и 2; = - z, т. е. п = - г *К
Наиболее общий вид движения - комбинация отражения и
инверсии со всеми видами физического движения. Простейшим
видом обобщенного движения является отражение; покажем, что все
другие виды движения можно получить путем комбинации
последовательных отражений в ряде зеркал;
- трансляция фигуры на вектор а эквивалентна двум
последовательным отражениям в двух параллельных зеркалах,
перпендикулярных вектору а и расположенных на расстоянии а/2;
*) Операция зеркального отражения эквивалентна отражению в
обычном плоском зеркале, операция инверсии - действительному
изображению тела, помещенного на двойном фокусном расстоянии выпуклой
линзы.
148
- поворот на угол а эквивалентен последовательному
отражению в двух зеркалах, пересекающихся по оси поворота и
расположенных под углом а/2;
- операция инверсии эквивалентна последовательному
отражению в трех взаимно перпендикулярных зеркалах,
пересекающихся в центре инверсии.
Введенных выше понятий достаточно, чтобы перейти
непосредственно к теме настоящего раздела - к определению
преобразования симметрии.
Преобразованиями симметрии называются такие движения
твердого тела или фигуры (трансляция, повороты, отражения и
инверсия), в результате которых тело (или геометрическая фигура)
совмещается с самим собой.
Каждое из таких движений называется элементом симметрии
данного тела. Совокупность всех элементов симметрии данного тела
называется группой симметрии. Груп- пы симметрии, содержащие
операции отражения, поворота и инверсии, называются точечными,
так. как при них остаётся на месте по крайней мере одна точка тела
или фигуры. Точечные группы симметрии характерны для
конечных фигур атомов, молекул и многогранников и бесконечных
анизотропных сплошных сред.
Группы симметрии, включающие в себя также и трансляции.
называются соответственно линейными, плоскими и
пространственными; эти группы характерны для периодических
структур.
Как следует из сказанного выше, последовательное применение
двух преобразований симметрии дает третье преобразование. Так,
например, трансляция вдоль оси и поворот дают винтовое
движение, два отражения в зависимости от расположения
плоскостей дают поворот или трансляцию, трансляции размножают
точечные элементы симметрии и т. д. Поэтому законченной группой
симметрии данного тела (в дальнейшем мы будем говорить
кристалла) является полная совокупность элементов симметрии,
которая получается путем применения комбинации любых его
элементов.
КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
Все кристаллы, внешняя форма которых одинакова, т. е.
которые могут быть совмещены одинаковыми поворотами,
отражениями и инверсиями, образуют один кристаллический класс.
Как следует из сказанного выше, эти
149
кристаллы должны иметь точечную симметрию одного и того же
вида, т. е. входить в одну точечную группу симметрии.
Введем обозначения для элементов симметрии: плоскость
симметрии обозначим буквой Р или т; ось симметрии - буквой Z
или g. Например, Z4 или g4 будет означать, что кристалл обладает
осью симметрии четвертого порядка, т. е. может быть совмещен с
самим собой путем поворота на 90°.
Зеркально поворотной осью будем называть одновременный
поворот вокруг оси и отражение от перпендикулярной к ней
плоскости; например, Z3 означает ось симметрии третьего порядка и
зеркально поворотную ось шестого порядка. Центр инверсии будем
обозначать буквой с. На первый взгляд может показаться, что
число элементов симметрии, например поворотных осей (Z1, Z2, . . .,
