Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
Займёмся оценкой погрешностей наших формул. Построим отображение, обратное (88):
л«
{і- ^ l^~Ht)dt} . (88')
О
Функция F(w) правильна в единичном круге1). Мы покажем, что при 8, удовлетворяющем (87), и при е достаточно малом функция F (w) однолистна в единичном круге и реализует конформное отображение единичного круга на область, отличающуюся от области .О(Г) на малые второго порядка, сравнительно с е.
Для этой цели изучим прежде всего соответствие аргументов точек окружности |(у| = 1 и точек F(w). Это
J) При IwI = I интеграл (88') надо понимать как особый.
> (89)
¦109 соответствие определяется формулой (89), в которой нужно положить г = 1. Получим
2%
о
= ^ Ctg ^b{t)dt. (90)
о
В силу отмеченных во введении п. 6 свойств особого интеграла Д<р и условий (87) будем иметь
IS-1H*'- j (91)
Кроме того, заставляя в (89) г стремиться к единице, в силу основного свойства интеграла Пуассона, получим
р = 1_|_2тс8 (ср). (92)
Из (90)-(92) заключаем, что если Me < 1, то когда точка w = eгЧР описывает единичную окружность, точка z = F(w) описывает в положительном направлении некоторую замкнутую линию Г'. По принципу соответствия границ функция F (w) при Afs < 1 однолистна в единичном круге и даёт конформное отображение этого круга на область D(V). Согласно (90) и (92) уравнение Г" будет
Отклонение Г' от Г будет определяться неравенством
I Ap I = і 8 [? т - * (Ф) I < іOW U ? ¦~ ФI <
Кроме того,
fbN I-8, ^b
Отсюда, обозначая через z = <P(w) функцию, обратную W = f (z,T)f окончательно получим
I ф ((V) - F (W) I < const, г2. (93)
¦110
<2Ms\ Этим самым показано, что формулы (88)-(90) дают конформное отображение области D(T) на единичный круг с точностью до малых второго порядка.
Наиболее важной для практических применений является формула (90). По этой формуле можно вычислять не только значения Cf по 9, но, при условиях (87), также и значения граничной производной. В самом деле, замечая, что
\ ctg Ц^Л-0,
2 б
имеем
2п
л«,+J Otgl=-1P(0-»(?)] Л.
о
Дифференцируя по параметру 9, получим
# л і T »(О- * M dt
dy 2 J . 2 <р —г
о si"2 lY-
Ho с точностью до малых второго порядка относительно е Отсюда окончательно
275 *
I F' (e<*) j » 1 + 2тс8 (?) - M dt. (94)
І sin2
Применяя рассуждения, аналогичные предыдущим, можно оценкой погрешности в (94), в частности, показать, что эта погрешность есть малая высшего порядка сравнительно с є.
При практических вычислениях функции F и её производной по вариации 8 (9) проще всего задавать 8 при помощи тригонометрической суммы
8(9) = 2теє (а0 + (J1COS 9 + Ъл sin9 + a2cos 29 + b2 sin2 9+ .. .), тогда, согласно (90) и (94), получим
ф аа 9 + S (а} sin9 — cos 9 + а2 sin 29 — b2 cos29 + ...) ; Ff (є**) I = 1 + 2я8 (9) + є (ах cos 9 + bx sin9 + 2aa cos 29 +
+ 262 sin 29+ ...)
JJt 60. Области, близкие к данной. Пусть нам дана одйо-связная область Z> (Г), содержащая точку z0, и пусть известна функция, реализующая конформное отображение области D на единичный круг
«* = /(*, Г), / U0, Г) = 0, /' Г) > 0. (95) Требуется найти конформное отображение
<* = /(*, г), Z(^T) = O1 Г {z9if) >о
области D(F),/близкой к D (F), на единичный круг.
Пользуясь цолученными выгт е формулами, мы можем сразу дать реш&рие поставленной задачи. HycTbz1- точкаГ, переходящая в точку w = l; обозначим через s длину дуги контура Г, заключённую между Z1 и z — когда z, отправляясь от Z19 описывает в положительном направлении контур Г, число S меняется от Одо где I — длина Г. Зная отображение (95), мы тем самым будем знать зависимость аргумента 9 точек окружности |ю>|=1 от линейной координаты S:
1 Г Ї (96)
о J
Допустим теперь, что Г близок к Г в следующем смысле.
Обозначим S (S) длину отрезка нормали к Г, заключённого между Г и Г, взятую со знаком +, если этот отрезок расположен вне Z>(Г), и со знаком—, если отрезок лежит внутри Z> (Г); мы допустим, что
|8(*)|<в, 18' (s) I < s, I 8" (s) I <в,
где є— фиксированное малое число. По функции 8 ($) мы построим в плоскости область D (у), близкую к
единичному кругу, принимая за у кривую
Г = 1 + 1/ (г, Г) 18(8)=1 + 21^8(8) = 1 + 2^(*),
где S есть функция 9, определяемая из (96). Пусть
. * = Z(CiY), Z(O1T) = O, /' (0, у) > 0
— функция, определённая по формуле (88), в которой вместо 8 (?) подставлена 8* (?); тогда искомое отображение
¦112 области і) (Г) на единичный круг может быть построено по следующей формуле1):
Используя (90) и (94), можно найти также вариацию соответствия границ и вариацию производной при переходе от данного отображения w = f(z, Г) к близкому отображению w=f(z, Г).
61. Локальная вариация. Остановимся ещё на одном важном частном случае разобранной выше задачи, когда Г отличается от Г только на малой духе с центром в точке« Kofc^pa Г. Обозначим через с площадь, заключённую между Г и Г; а мы будем считать со знаком — , если Г расположена внутри D (Г), и со знаком + , если Г расположена вне 2)(Г).
