Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
h ,
F(W) = "-Rei^+ а.
¦105 Следовательно,
І* R-h
Обозначим через а угол между MN и отрезком МО\ имеем I = -^^-1, но тогда I ^'(-1)! =^—--х и ,сле-
— cos а — V,
P R
довательно,
<
1-І ^
I dw Kv=-I 2 1 — COS OL--=
P я
Полученное неравенство делает оценку модуля производной \ f (z, Г) I снизу; для получения оценки сверху достаточно вместо вписанного круга С взять описанный круг
C1 .радиуса E1 = -I--.
1 S1
Вводя вместо р, а и E числа є, є1? р., после простых преобразований получим искомое неравенство (83).
Если є мало сравнительно Cs1, то оценка (83) может быть существенно улучшена, если за T1 взять линию, составленную из дуги окружности кривизны ! + S1, расположенной вне круга |z|<l —є, и дуги окружности IZ I = 1 — 2, а за Y2 взять линию, составленную из дуга окружности кривизны 1 — S1, I Z j < 1 + ей дуги окружности IzI = I + ..
Из оценок для граничной производной I/'Cz> Г)|, если дополнительно принять, что
/'(О, Г)>0, (84)
можно получить оценки на границе и для Iarg/(z, Г) — z\. Для этой цели установим предварительно следующую лемму.
Лемма. Если отображение w = f (z, Г), /(О, Г) = О удовлетворяет условию (84), го на Г найдётся точка с неподвижным аргументом, т. е. точка Z0 = Tei^, для которой
/ (гбг<Р°, Г) = ег'*о.
В самом деле, рассмотрим функцию
2 = F (W), F (0) = 0, Ff (0) > 0, (85)
¦106 обратную функции /. Положим w = ре^ п построим функцию
1п^ = Р(Р, ф) + і<?(р, ф).
В силу (85) наша функция правильна в единичном круге, причём гри р = 0 гармоническая функция Q обращается в нуль. Но так как значение іармони^еской функции в центре круга равно её среднему значению на окружности, то на окружности I w! = 1 найдётся такая точка для которой
?(1, <р0) = 0. В этой точке
arg F (егср0) = ср0,
что полностью доказывает нашу лемму.
Теорема 10. В-условиях теоремы 9 и при условии (84) в произвольной точке z = re^ границы Г имеем
I arg / (re**, Г) — <р I < тс (Зз + еА) + р, (86)
где р содержит s, p., S1 в степенях^не ниже второй.
В самом деле, в силу условий теоремы, леммы и принципа максгмума
j arg / (ге% Г) - 9о [ > $ I /' (ге'*, Г) I ^,
где rei(?eсгь точка контура Г. Оценивая j/'(z, Г) | с помощью (83), получим
arg / — <р0 > * - <р0 - (Зз + S1) (ср - ?0)
или
arg /- 9 > - (Зз + Єі)(9 - <р0).
Вполне аналогично, используя правую часть неравенства (83), получим
arg / - ср < (Зз + S1 + р) (ср - <р0).
Сочетая последние два неравенства и замечая, что достаточно рассмотреть <р,|<р —<р0| 5C tcJ получим искомую оценку.
Различные оценки для | arg / — <р [ можно голучить и без исі ользоіания нераьенств (83), значительно ослабляя условия, налагаемые на контур Г —например, оценку, аналогичную (86), можно получить без гипотезы малости числа S1. Для этой цели можно воспользоваться доказанным в п. 44
¦107 принципом Монтеля. Укажем путь для получения таких оценок. Фиксуїруем на Г точку r0efc?o с неподвижным арі ументом:
arg/(V^o)ssyo5
для оценки І arg / (re— 9 [ в произвольной точке геі(? контура Г ддстаточно оценить сверху и снизу длину 8 дуіи единичной окружности, в которую переходит при отображении W = Kz1 Г) дуга контура Г, заключённая между точками z0 = r0ei(?o и z = reu* (рис. 65). Соединим точки Z0 и
Z дуюй окружности Yi> принадлежащей /)(Г) и касающейся Г в
точке дуги z0zt и дуюй Pac" положенной вне D (Г) и касающейся Г в точке вне Z0Z.
По принципу Монтеля при отоб-Рис. 65. ражении w = f(z, Yi + У^ дуіа Yi
перейдёт в дугу длины, большей 8, —мы получим оценку для 8 сверху. Меняя ролями Yi и Ysj получим таким же образом оценку для 8 снизу.
Приведём одну из таких оценок при є < ja < 0,1:
I arg / (re^) — ч> I < 1,6 pi. (86')
49. Области, близкие к кругу. Полученные в предыдущем пункте оценки в силу принципа максимума справедливы, конечно, и для внутренних точек области D (Г), но для внутренних точек они оказываются слишком грубыми. Здесь мы дадим выражение для главной части функции / (z, Г), реализующей конформное отображение области D (Г) на единичный круг, и её оценки, справедливые в замкнутой области. Будем попрежнему считать замкнутую линию Г по положению и кривизне бесконечно близкой к единичной окружности Z1 = I, то-есть в её полярном уравнении
г = г(9)=:1 + 2тс8(9), 0 < 9<2ТС, будем считать
|8(<р)К Є, ;8'(?)|<e, I (9) |< е. (87)
Главную часть /(z, Г) нетрудно найти, отправляясь от формулы (58) п. 41. Полагая
/(0, Г) = 0, /'(0, Г)>0,
Юз UB (58) получим
и
w = Г)»* (88)
О
Точно так же, используя формулы (78) п. 44, мы получим уравнения линий Yr и связь между аргументами 9 и ф точек Yr и окружности \ w j = г:
1 о
Y 2rsinfcp-Q Y J 1—2rcos(f—?)4-/*2
0
Формулы (88) — (89) мы получили из формул (58) и (78), справедливых для точек z, отстоящих от места вариации на расстоянии, большом сравнительно с площадкой а. Следовательно, формулы (88)-(89) во вояком случае имеют силу для всех точек Z9 для которых 1 — \z.\ велико по сравнению с 8 (9).
Нетрудно убедиться в том, что, при принятых условиях относительно 8(9), формулы (88)-(89) будут справедливы и в замкнутом круге |wl<l; можно также дать оценку погрешности этих формул в зависимости от е.
