Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что в силу принципа симметрии Шварца формулы [(58)-(59)] справедливы также для отображения внешности области D (а, 6) на внешность круга ,(V >1.
11°. Приведём ещё несколько формул, относящихся к отображениям круговых луночек. Пусть луночка D(fe0,/c,#) ограничена дугами окруж-ностей C0 и С кривизн, соответствен- ^
но, к0 и к, причём Я означает длину Hfe---г
принадлежащего D отрезка общей нор-мали C0 и С (рис. 40).
Предположим, что угловые точки луночки расположены в точках Z = ±1 Рнс. 40.
и что окружности C0 и С пересекают мнимую ось, соответственно, в точках iX15 A2. Тогда в силу отмеченного в п. 7° свойства отображения (51), оно даёт конформное отображение луночки, ограниченной C0, С на полосу A1 < V < A2, где
Таким образом, путём отображения (51) и дополнительного преобразования подобия плоокостей можем построить конформное отображение любой луночки ZHft0, MSL полосу 0 < V < А.
Пусть угловие точки луночки А, fl) расположены в точках Z= ± І; а іH1, суть точки пересечения дуг
A1=^arotgX15 )
* \
(60')
2 '
A2 = - arctg).2. J
$ Конформные отображении
81 C0 и С с мнимой осью. При этих обозначениях функция
—/»-!^{«й+І} т
будет давать конформное отображение луночки D на полосу 0 < V < Л, причём
} __ч ^H %
kL--J > ^ffiT'
a A1 и A2 определяются по формуле (60'). Геометрические параметры A0, А, Я и H19 H21 I связаны между собой следующими соотношениями:
Il = H2-H19 ь ^ 1 2Я*
І 1 + Я» 7 h 1
Z 1+AJ •
Дифференцируя (60), получим
Из формулы (61') можно получить одну приближённую формулу, важную для приложений. Пусть Z0 — точка дуги C9 ті — длина отрезка нормали к С в точке Z09 расположенного в луночке/), и 0 —угол между касательными к С и C0, проведёнными из концов отрезка п (рис. 41).
Допустим теперь, что А и вместе с Рис. 41. Heg ЕЄЛИІіИНЬІ A"—A0 и п суть бесконеч-
но малые первого порядка^малости, а кривизны A0 и А ограничены. При этих условиях имеет место формула
!/'(Z0) к+ J-A, + ^« + ! 62)+р, (61)
где р можно представить в виде однородного многочлена третьей степени относительно Ti9 I 0 |j I А —А0| с ограниченными коэффициентами.
В последней формуле кривизну A0(A) надо брать со внаком-f-, если C0(C) обращена "к D ьогнутостью, и со знаком — , если C0(C) обращена к D выпуклостью (на рис. 41 A0— положительна, А — отрицательна).
П JtiyJin вывода (61) из (61') в последней формуле надо выразить параметры I1 h21 A1 и Z0 через л, 6, к0 и к и затем разложить функцию I f (z0) I по степеням параметров Л, б, к — к0 до членов второго измерения включительно. Однако фактическая реализация этою пути приводит к чрезвычайно громоздким выкладкам. Значительно проще получить (61), отправляясь от частного случая, когда С совпадает с осью х, а^ I равно единице. В этом случае формула (61х) нам даст при
Z0 = X
где 2<р0 есть угловая мера дуги C01
у
// у U
<7?
<р0 = aresin к0 = к0 + у К+ ...
Рис. 42.
Обозначая через т длину отрезка нормали к действительной оси в точке X1 заключённого в луночке (рис. 42), будем, очевидно, иметь
но тогда
sin 8
тк0 = cos 6 — cos <р0, h 2 (cos 9—cos <f>0)
л*)=
?o
Разлагая по стегени A0 и 0 числитель 'и знаменатель последней дроби, получим
Imk0 = I (cos 0 - cos ?0) = (?1 - б2) - і (?і - б4) + ... =
То
(ft.
sin* в
)-(*• +.)0
+
-)
В »тих разложениях мы сохраняем члены четвёртого порядка, ибо 1лавные члены суть малые второго порядка, а нас интересует отношение разложений до второго порядка малости включительно.
6*
83 Отсюда с точностью до малых второго порядка чительно получим;
/'(*)= „7
h 1 I
m J- Г kl-v+...
Jl m i+ 1 AJ . 1 *062 24 m + 12 m 1 G4 8 mk0 ' " "
h- J гі і 1 Aro(A§-02) , 1 ( i2 'A'o — 0s)
m і L1 1 K> •РЧ I H I H 00I mk0 '
I = 1
-^+пЧ + т*'+"-}.
или, подставляя Jc0 ~ 2т к0 + Q2 + ¦.. , окончательно получим
A = f = ? { 1 + + 4 е.2} + ... (61.)
Наш вывод мы провели в предположении, что длина хорды, стягивающей дугу C0, равна 2, но в силу безразмерного характера алементов^полученной формулы она будет справедлива для дуг C0* с любоії хордой.
Покажем теперь, каким образом при помощи дробнолинейного преобразования из формулы (61і) можно получить искомую формулу (61).
Рассмотрим в плоскости С ,луночку Д, ограниченную действительной осью и дугой у окружности кривизны Т. Пусть (0,—im) есть отрезок
мнимой оси, заключённый в A1 — б уюл, образованный
Y с мнямой осью (рис. 43).
Отобразим конформно нижнюю полуплоскость ImCCO
і
на внешность круга радиуса
0, . т
hm
dl
6-/
^da
l) n
НІ Co
___A
Рис. 43.
к--
2 і
(62)
При этом отображении луночка Д перейдёт в круговую лу-
1
T и
ночку Dt ограниченную дугой С окружности |z|=s-84 Дугой C0 окружности некоторой кривизны A0. Точка C = O
1
переходит в точку Z = J, отрезок т переходит в отрезок п действительной оси:
A- 2«
1 —т
пк /
т
дуга C0 образует с осью х у^ол у+ 9.
