Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
її Отображение (43) можно построить элементарно: W = Zi даёт конформное, отобран ение верхней полуплоскости на плоскость с выброшенным лучом arg W = 0, | W | ^ 0, следовательно ,
W :
:Єіа Z2 + і Єі%
даёт отображение полуплоскости на данную область; для того чтобы голучить (43), достаточно единичный круг I ZI < 1 отобразить по формуле (28) на полуплоскость ImZ>0,
соблюдении условий: Z(0)=~, arg Z'(O)-= — ^а + у^,
~ і Oia--Zr
>--
+ 2
с помощью первого приёма получим искомую формулу (43).
Рис. 28.
К той н е форму: е мои но притти, пользуясь общей формулой Кристофеля-Шварца. 2 . Функция
w^fW = -TFk-ІТ-> /'(O) = O, /' (0) > 0 (44)
даёт отображение круга | z | < 1 на лучевую область, получаемую удалением і з плоскости w лучей arg w = 0, | w [ > а; arg W = K, IW J > ка (рис. 28).
В этом проще все. о убедиться, заметив, что
/ (ещ) =__
м ' (1 + к) cos^ — (l — /f) ' и пользуясь принципом соответствия границ. Можно также воспользоваться тем, что отображение (44) сводится к (43) с помощью линейного преобразования.
3°. Функция
W-/W-F^^фр-п' /(0) = 0. /'(O) = V^ («}
¦72 даёт отображение единичною Kpyja \z\<l на область, получаемую удалением из плоскости п лучей: arg w = —9
Убедиться в правильности этой формулы проще всего, применяя принцип соответствия границ. 4°. Функция
"=T (2+т) - (46)
даёт конформное отображение единичного круїа и е:о внешности |z|>l на внешность отрезка ( — 1, +1) оси и (рис. 30). Способы получения (46) прежние. > Простым подсчётом ле ко убедиться, что при отображении (46) любая окружность | z | = г, г Ф 1, переходит в эллипс
с фокусами в то^ ках — 1, + 1, при г —» 0, или г~> со эксцентриситет' этого эллипса стремится к нулю.
5°. Используя отображение (46), нетрудно построить конформное отображение единичного круга |я|<1 на
¦73 область D (е, б), получаемую из круга |w|<l удалением npm олинейного отрезка длины є, выходящео из точки е"4' и принадлежап;его радиусу нашего круга. Искомая зависимость w о? z
<v = /(z;A, 0), /(0; A, 6) = 0, /' (0; А, 6) > 0
определится следующим уравнением:
(l + A)(»» + e^-)+2 A = (47)
где положено
ІІ
А:
4 1 —<
Опишем получение формулы (47), например, для случая б 8=0. Функция
С=(1 + А)(г + 1)+2А
реализует конформное отображение кру a |z]<l на внешность отрезка ( — 2,2 + 4А) в плоскости С; с другой стороны, функция
c=w+A 1 w
даёт конформное отображение круга на внешность отрезка ( — 2,2), но та же функция преобразует область Х>(є, 0) — крух с удалённым из не. о отрезком(1 — е, 1) на внешность
отрезка(-2,2 + г~) *).
Отсюда следует, что соотношение (47) (при 9 = 0) есть искомое.
Очевидно, f(z\ 0, 6) = z; найдём главную линейную часть приращения /(z; А, б) конформно о отображения при переходе от A = O к некоторохму бесконечно малому значению А. Начнём с простейшего случая 6 = 0, то. да (47) принимает вид:
(І + А^+^+гА = «' + !. (47')
х) В самом деле, обрав конца отр езка 1— е при этом отображении
1 Sa
1 — 8 1 1 — S
¦74 Положим
и подставим в (47'), получим
(Il-A) (z2+l)(z4-a)) + 2Az(z + o)) = z{(z + w)2 + l}.
Замечая, что со и h бесконечно малые одинаковых порядков, и отбрасывая малые высших порядков, переписываем последнее соотношение в виде
О) (z2 + 1 ) + hz (z2 + 1) + 2 hz2 = 2o)z2.
Отсюда окончательно
+ + (48')
От (48') нетрудно подойти к общему случаю дфО. Для этой цели, очевидно, достаточно в (48 ) вместо z и w подставить ZeiJ И WeiJ
+ ш = —(48)
Дифференцируя соотношение (48) по z, получим їлав-ную линейную часть производной
+ V»-W . (49)
Наряду с формулами (48) и (49) для некоторых приложений полезно ш.еть зависимость между аргументами точек окружностей і Z = 1 и ям = 1 при h бесконечно малом. Ограничимся случаем 0 = 0; тогда, полагая z = e?'v, w = ^ = 9 + Д<р, из (48') получим
cos ty = (1К) cos <р + h
или, после отбрасывания бесконечно малых высших порядков,
^9-ActgI-1) (50)
(рис. 31).
1J В справедливости (50) проще всего убедиться, заменяя со^ф== =соз («р -fA<p) «cos <р — sin <рАср, тогда A'f= — ~ (=—hctg .
¦75 Формулы [(48)-(50)], выведенные для бесконечно малых h, имеет смысл применять лишь для точек Zf находящихся на конечном расстоянии I z—еп | от граничного отрезка ?>(є, 6).
I 6°. Применяя к отображению (47) 'принцип симметрии Шварца, мы получим, что та же формула даёт конформное отображение внешности единич-'и ного круга IZI > 1 на область/) (є, 6), получаемую удалением из области I W I > 1 к^ска радиуса arg w = 0, выходящего из точки ef0
1 S
и длины 1—1 = . Для этого, отображения также имеют место формулы [(47) — (50)]«
7°. В дальнейшем часто будет применяться отображение круга \z[ < 1 на полосу 0 < v < 1. Его реализует функция
*«/<«>—ilnij±f, (51)
(рис. 32). 76 Интересно отметить, что при этом отображении пучок (jftfpyatooofeit; проходящих через точки —1, +1, переходе? в пучок прямых, параллельных оси и. Отметим ещё зЯфажение для производной /' (z) рассматриваемою отобра-жёййя
