Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
(51')
8°. Отображая конформно круги 1 z \ < 1, | w | < 1 на верхние полуплоскости [отображение (26)] и на единичные полосы [отображение (51)], мы получим из результатов п. 5° следующее:
W = f(z){^az-
(52)
2 Z — а
даёт конформное отображение на полуплоскость у > 0 обла-
U
. ? I
>-1 >>>
О
Рис. зя.
Рис. 34.
сти D (г, а), получаемой удалением из полуплоскости г? > О отрезка а, а+ is (рис. 33). Функция
TZZ— а
w?af(z) = z — -r Cth-
(53)
даёт отображение на полосу 0<у<1 области D1(S1Ci)1 получаемой удалением из полосы 0 < v < 1 отрезка
а, а-\-іе (рис. 34).
При этих отображениях устанавливается следующее соответствие между точками оси х и оси и:
U = X
¦и =
2 X — а
* .і тол— а х- — cth—г— , k 2
(52') (53') 11 41. Отображения круговых луночек. 9°. Круговой луночкой мы будем называть область, ограниченную дугами окружностей C0 и C1 (рис. 35). Комбинируя элементарные функции, нетрудно получить отображение внешности кру-IvBUji луночки на внешность круїа, играющее важную роль в теории крыла аэроплана. Пусть а, а —угловые точки луночки, а —её угол, 0 —угол между дугой C1 и осью х\ преобразование
г Z -f- а
переводит внешность луночки в угловую ^область Д с'углом 2тг — а. Используя степенную функцию,}^ затем линейную,
У
L а -Nfi
-'а Q
Рис. 35.
Рис. 36.
мы последовательно отобразим Д"на полуплоскость, а затем на внешность круга. Проделывая описанные преобразования, мы получим искомое отображение в виде
Oref
W = f(z).
TS W
(z + af*-* + і (z — а)**-0-urct те те
* а (z + d)^-« — i(z — ау%-л
(54)
Полагая в этой формуле а = 0, мы получим отображение внешности дуги у окружности на внешность единичного круга
W = Z(Z) =
е2 l/a + Z+ Ya—z
(54х)
Ya + l^a— Z
При отображении (54J уїловьіе точки — a, а луночки переходят в точки —1, 1. Проведём через точку W=I окружвіость С, касающуюся единичной и лежащую ?не единичного круга. При отображении (54J окружности С соответствует некоторая линия Г, охватывающая дугу Y и имеющую точку возврата в точке а (рис. 36). Функция (54J даёт отображение внешности Г на внешность круга С. На этом замечании основывается известный г^етод
П получения классов профилей крыльев аэроплана (профили Жуковского).
10°. Остановимся на получении ряда приближённых формул отображений круговых луночек, которые получат важные приложения в дальнейшем развитии теории (і л. V). Начнём с отображения по- ау луплоскости у >0 с выключенной круговой луночкой на полуплоскость v > 0; мы пред-положим малыми хорду а дуги окружности и угол а, образованный этой дуюй с осью Рис. 37. X (рис. 37).
Точно так же, как в 9°, нетрудно получить точную формулу для искомого отображения w = f(z) с нормировкой /(OO) = OO, /'(OO)=I,
ка
w = /(2)=-----*——-f const. (55)
ґ eY
C1-Tj
k TS—я.
1 -
Разлагая в ряд Тейлора по степеням а и а элементарные функции, входящие в состав формулы (55), получим
а Г А . а аа . а2 а2а ааг . а3 , , 1
4"10 noP-J;
<-т )
7S
%—а
X
[, , а , а2 , а3 , ,
! + - + ^-+^+чл. 4-го пор.
, Г і а . аа . а2а . ,
х L1-«+Й5 + Й5» + 431- 4"г0 noP-.
(л . аа . аа2 , а2а , , \ , а2а ,
^йз+йй+б^+4«- 4"го n°p-; = z+6^+const-
о а2а
замечая, что — = G с точностью до малых высших порядков выражает площадь выключенной луночки, получим приближённую формулу
= const, / (оо) а. оо, /' (оо) «Г 1 . (56')
¦79 Прибегая к параллельному сдвигу, получим несколько более общий ревультат: функция
W-
- -j- const
(W)
даёт конформное отображение на полуплоскость u>0 ласти D1(Cjb), получаемой удалением ив полуплоскости у > 0 площадки с, ограниченной отрезком о, 6 + а и ДУ" гой окружности малой кривизны. При этом между точками оси X и и устанавливается соответствие
« 0 л
и = X А---
1 7ZX—
+ const.
(5?)
Отображая каждую из плоскостей на полосы, мы получим из доказанною следующие результаты. Функция
z — b
W-.
const, /(00) = 00,
/'(00) = 1
(57)
даёт отображение на полосу 0 < v < 1 области D2 (с, 6),
получаемой из полосы О < у <[ 1 удалением площадки о (рис. 38). Между точками прямых у = O1 v = 0 это отображение устанавливает
соответствие
''.(67,)
тш<.
Ь*а Рис. 38.
тгг—j:
Ґ*
Рис. 39.
. С . , X-
я-f-cth-^
а между точками прямых у = 1 и D = I
, 0 ж. з—Ь
и = х+ - th —тг-.
• TT 9
(57.)
Отметим, наконец, ревультат, получаемый из (56) с помощью вспомогательных дробно-линейных преобразований: функция
•-/М-Ч1+*^} W
реализует конформное отображение на. единичный круг круговой луночки D (о, 8), образованной единичной окружностью и окружностью мало^ кривизны так, что угловые точки луночки близки к точке в« (рис. 39). Отобра-
¦0 жецие (58) устанавливает следующее соответствие точек окружностей I Z = 1 ід j (V J = 1:
а « — Q
^9-- Ctg^-
в
(58,)
Прои»водная отображения на границе
(59)
а проивводная в начале координат
