Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
/(0) = i, /(-0 = 0. (26')
В силу принципа симметрии (теорема 1), при искомом отображении точка Z= оо, симметричная с тонкой Z = O относительно окружности JzJ = I, должна перейти в точку w=—i> симметричную с точкой W = і относительно действительной оси. Таким образом, к условиям (26') можно добавить следующее:
/(оо)= —
Отсюда, применяя формулу (22), мы получим искомое отображение
* = T^T- (26)
Решая последнее соотношение относительно Z, получим отображение обратное—полуплоскости на единичный круг:
преобразующее точкц W = О, W = і, соответственно В ТОЧКИ Z= — i, Z = 0.
При рассматриваемом отображении семейства окружностей |z| = r и лучей arg z = const перейдут в ортогональные пучки окружностей (рис. 12).
Отображение (26) устанавливает следующее соответствие точек окружности J Z J = 1 и точек оси х:
Для граничной производной будем иметь
l/'(^)l = S =
2sin2CbI)
1 — sin <
50 »Отметим еще формулу отображения единичного круга
|zj<Cl на верхнюю ^полуплоскости Imcv > 0.
„-г»
W :
WnZ—IWnC
Z—ie
с нормировкой
/(O) = W0, arg /' (0) = а
(28)
(28')
Действительно, (28) преобразует точки z = 0 и z=oo, симметричные относительно |z| = l, в точки wQ = a + ib и Wq = a — ib и, кроме того, преобразует точку z = е~ій> единичной окружности в точку w = a -J- 6 действительной оси,
и
\ U
))'///) J)? s)}J?)
Рис. 12.
а отсюда следует, что оно реализует нужное отображение.
26. Предельный случай. Заканчивая рассмотрение линейных преобразований, отметим один интересный предельный случай формулы (22). Поставим себе следующую задачу: построить линейное преобразование по следующим данным: 1) точки Z1 И Z2 должны переходить в точки W1 и w2> 2) в точке Z2 функция, осуществляющая отображение, должна обладать заданной производной % = а + іЬ = $еІЦ.
Для решения поставленной задачи заменим второе условие условием соответствия точек Z3 = Z2 -j- h и W3 = W2 + а/г, где Л пока произвольно. Очевидно, при А —>0 отображение (22)
W-W1 W2-W3 _ Z-Z1 Z2- Z3
W —¦ W3 W2'— W1 Z-— Z3 Z2-— Z1
перейгёт В искомое. Получим
W — W1 _W2 — W1 2 — Z1
W — W^ Z2- Z1 Z-Z3
51 St. Степенная функция. Изучим теперь свойства конформных отображений, осуществляемых степенной функцией
w = (29)
где а —произвольное действительное число. Случай отри-цательных а при помощи преобразования z = сводится к
/и
случаю положительных а, поэтому в дальнейшем мы будем предполагать а > 0.
Введём полярные координаты z = rei(?, w = рег"°, тогда зависимость (29) примет вид:
р = г*,
6 = OC^.
(29,)
При целом а функция (29) однозначна и аналитична во всей плоскости. При нецелом а наша функция многозначна; в самом деле, пусть Z0-T0^0, — ^ < <р0 < тг, ту же точку Z0 можно представить в виде Z0 = где к— любое
целое число; согласно (29х) для zj мы получим значения:
Отсюда видно, что если а — рациональное число, a = , гдер и <
q целые Езаимно простые числа, то точке Z0 будет соответствовать q различных значений W0 = где
h=a(?0 + 2Ліс), ft = 0, 1, 2,..., g-1;
если а нерациональна, то Z0 будет соответствовать бесчисленное множество различных значений tv0 = eio*, где
0* = а(?о + 2Ьг), й = 0, ±1, ±2,...
Пусть D — односвязная область, не содержащая начала координат, и пусть z0 = р0егср0 — произвольная её точка. В области D бесконечнозначная функция 9 = arg z распадается на бесконечно большое число однозначных непрерывных ветвей, каждая ветвь полностью определяется выбором значения ср в точке Z01). Каждой однозначной ветви arg z в силу
1I Если D содержит точку 2 = 0 и а нецелое, то za не распадается на однозначные ветви—если 'z опишет замкнутый контур, охватывающий точку 2 = 0, аргумент функции z» увеличится на — в области Dza- не имеет однозначных ветвей.
т (29j) соответствует однозначнай ветвь za. Если
W = Ya-Qi0-V
— одна из этих ветвей, то все остальные можно получить из неё с помощью соотношения
Выясним теперь, каким условиям должна удовлетворять область Df для того чтобы однозначные ветви Za были в ней однолистными. Проведём произвольную окружность С с центром в начале координат, пересекающую область D: 121 = E; обозначим через Ф (R), 0 < Ф < 2тс максимальное значение разности аргументов точек Dy расположенных на С (рис. 13).
При этих обозначениях для однолистности ветвей Za- в D необходимо и достаточно, чтобы
аФ(Е)<2тг. (29')
В самом деле, согласно представлению Za- в полярных координатах, сформулированное условие есть уело- Рис. 13.
вие, необходимое и достаточное для
того, чтобы двум различным точкам области D отвечали две различные точки в плоскости Wy следовательно, оно и есть искомое условие однолистности.
Рассмотрим теперь простейшие отображения, осуществляемые степенной функцией.
28. Отображение полуплоскости на угол. Примем за область D полуплоскость у > 0 и изучим отображение D при помощи степенной функции (29). Возьмём ту однозначную ветвь za, которая положительную часть оси х переводит в положительную часть оси и:
