Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
[1+^(0)2>(0)]в14.
Мы видим теперь, что ввиду (110,5—6) поправочный член здесь обращается в нуль. Другими словами, мы приходим к важному результату: во внешних фотонных линиях вообще не надо учитывать радиационных поправок.
Таким образом, естественные физические требования приводят к установлению определенных (равных нулю) значений величин ^(0) и ?Р'(0). Между тем вычисление этих величин по диаграммам теории возмущений привело бы для них к расходящимся интегралам. Мы видим, что способ устранения этих бесконечностей состоит в приписывании расходящимся выражениям наперед заданных значений, устанавливаемых физическими требованиями. О такой процедуре говорят как о перенормировке соответствующих величин1).
Способ проведения этой операции можно сформулировать и в несколько иной форме. Так, для перенормировки заряда частицы вводят нефизический «затравочный» заряд ес как параметр, который входит в выражение исходного оператора электромагнитного взаимодействия, фигурирующего в формальной теории возмущений. После этого условие перенормировки формулируется как требование е\ЗУ (fe2) -> Ane2/k2 (при k2->0), где е — истинный, физический заряд частицы. Отсюда находим связь e2Z = е2, и с ее помощью нефизическая величина ес исключается из формул, определяющих наблюдаемые эффекты. Потребовав же сразу Z = 1, мы тем самым произведем перенормировку как бы «на ходу» и избавимся от необходимости введения фиктивных величин даже в промежуточных выкладках.
Перейдем к выяснению условий перенормировки электронного пропагатора. Для этого рассмотрим процесс рассеяния, который может проходить через одночастичное промежуточное состояние с одним виртуальным электроном. Амплитуда такого процесса должна иметь полюс, когда квадрат суммарного 4-им-
¦*) Идея такого подхода была высказана впервые Крамерсом (Н. Kramers, 1947). Систематическое же использование метода перенормировок в квантовой электродинамике осуществлено в работах Дайсона, Томонаги (S. Tomonaga), Фейнмана и Швингера.
§ по] ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПЕРЕНОРМИРОВКИ 549
пульса начальных частиц Р; совпадает с квадратом массы реального электрона: Р\ — т. Полюсной член в амплитуде возникает из диаграммы вида
pf<
р-РГРг
>Pt (110,8)
где, с учетом радиационных поправок, жирная линия — точный электронный пропагатор. Это значит, что функция 9 (р) должна иметь полюс при р2 = т2, т. е. должна иметь предельную форму
$(Р) ™ +8(Р), Р2^>п\ (110,9)
где Z\ — скалярная постоянная, a g(p) остается при р2->-/п2 конечной. Матричная структура полюсного члена в (110,9) (пропорциональность ур + т) является следствием того же условия унитарности, из которого возникает и само требование наличия полюса. Покажем это, одновременно выяснив важный вопрос об условиях перенормировки внешних электронных линий.
Если 9 (р) имеет предельный вид (110,9), то обратная матрица
(р) "jj- (YP — т) — (ур — т) g (ур — т), р2-*т2. (110,10)
Массовый же оператор
J[ = G~i — ,9-1 « (l —-^)(yp—m) + (yp—m)g(yp—m), (110,11)
р2 -*¦ т2.
Эффективной внешней (скажем, входящей) электронной линии отвечает в диаграмме множитель (ср. (103,15))
°U(p) = u (р) + &(р)Ж (р) и (р), (110,12)
где и(р) — обычная амплитуда волновой функции электрона, удовлетворяющая уравнению Дирака (ур — щ)и = 0. В силу требований релятивистской инвариантности (°И, как и и, — биспинор) предельное значение °И(р) при р2->-/п2 может отличаться от и(р) лишь постоянным скалярным множителем:
<U(p) = Z'u(p). (110,13)
Этот множитель Z' определенным образом связан с множителем Z\, но найти эту связь просто подстановкой (110,10—11) в (110,12) нельзя ввиду возникающей неопределенности: ре-
550
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[ГЛ. XI
зультат будет зависеть от порядка, в котором совершается предельный переход в различных множителях в (110,12).
Можно, однако, обойтись без выяснения вопроса о правильном способе предельного перехода, обратившись вместо этого к условию унитарности в применении к реакции, изображаемой диаграммой (110,8). Соотношение унитарности относится, вообще говоря, не к отдельным диаграммам, а к амплитудам процессов в целом. Но при р2->-т2 полюсная диаграмма (110,8) дает основной вклад в соответствующую амплитуду Mfi, так что другие диаграммы, относящиеся к той же реакции, можно не рассматривать.
В силу требований унитарности, как это было показано в § 79, одночастичное промежуточное состояние приводит к появлению в амплитуде реакции мнимой части с 6-функционным членом
inb (рг — т2) Z М,пМ\п, (110,14)
поляр
где в данном случае индекс п относится к состоянию с одним реальным электроном, а суммирование производится по его поляризациям (во избежание лишних усложнений считаем, как и в § 79, что произведена симметризация обеих сторон соотношения унитарности по спиральностям начальных и конечных частиц; тогда Mfi = Mt;). Амплитуда Mfn отвечает процессу, изображаемому диаграммой
и имеет вид
Mfn = (MfnW) = Z'(Mfnu),
где Mfn — множитель с одним свободным биспинорным индексом1). Аналогичным образом амплитуда М/п имеет структуру вида
м\п = (йМы) = Z' (uM?n).
