Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Kjk(xu х2, х3) = (О j Т Л11 (хх) if»* (х2) ijj* (х3) 10> (106,1)
с одним 4-векторным и двумя биспинорными индексами; в силу однородности пространства-времени она зависит лишь от разностей аргументов xlt х2, *з- Выраженная через операторы в представлении взаимодействия, функция К имеет вид
ХЬС*,. ^_<0lT4.(-)^W*rW»l°>.. (106,2)
Переход к импульсному представлению осуществляется формулой
(2я)46(4) (/?! + k — р2) Ки (р2> Рь k) =
,K$k(xi, x,, x3)e-lkXl+lPiXl~ip^dixldix2d%. (106,3)
В диаграммной технике функциям Ка соответствуют блоки \1треххвостки) вида
(106,4)
с тремя (одним фотонным и двумя электронными) концами, импульсы которых связаны законом сохранения
Pi + k = p2. (106,5)
Член нулевого порядка в разложении этой функции обращается в нуль, а член первого порядка в координатном
530
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[ГЛ. XI
представлении
/0* (хи х2, x3) = e^G (х2 — х) yvG (х — х3) • ?>v^ {хх — х) d*x
(биспинорные индексы опущены); соответствующая диаграмма:
При переходе к следующим приближениям диаграммы усложняются за счет добавления новых вершин. Не все такие диаграммы, однако, дают нечто существенно новое. Так, в третьем порядке возникают диаграммы
Первые три можно рассечь (по одной фотонной или электронной линии) на простую вершину (106,7) и собственно-энергетическую часть второго порядка; для четвертой диаграммы такое разбиение невозможно. Эта ситуация имеет общий характер. Поправки первого рода приведут просто к замене в (106,6) множителей G и D точными пропагаторами $ и <Z). Остальные же члены разложения в сумме дадут новую величину, которая заменит в (106,6) множитель Обозначив эту величину 1>, получим, таким образом, по определению
Блок, соединенный с другими частями диаграммы одной фотонной и двумя электронными линиями, называют вершинной частью, если этот блок нельзя разделить на части, соединенные между собой лишь одной (электронной или фотонной) линией. Величина представляет собой сумму всего (бесконечного) множества вершинных частей, включая простую вершину ее называют вершинным оператором, или вершинной функцией.
или в импульсном представлении
К»(р2, Рй k) = eG (р2) YvG (Р\) • (k) (106,6)
к
(106,7)
(106,8)
' К» (р2, Рй к) = (р2) [—ieYv (р2, р{\ k)] & (р,)} l—i&™ (k)\.
(106,9)
5 1061
ВЕРШИННЫЙ ОПЕРАТОР
531
Приведем все диаграммы вершинного оператора с точностью до величин пятого порядка:
3 е ж з и
(точный вершинный оператор — ieГ мы обозначаем черной точкой).
Оператор Г (как и оператор у простой вершины) имеет два матричных (биспинорных) и один 4-векторный индекс; он является функцией двух электронных (рь р2) и одного фотонного (k) импульсов. При этом все три импульса не могут одновременно относиться к реальным частицам: диаграмма (106,4) сама по себе (не как часть более сложной диаграмму) отвечала бы поглощению фотона свободным электроном, но такой процесс несовместим с законом сохранения 4-импульса реальных частиц. Поэтому хотя бы один из трех концов диаграммы должен относиться к виртуальной частице (или к внешнему полю).
. Вершинные части можно разделить еще на две категории: неприводимые и приводимые. Неприводимыми называют те из них, которые не содержат в себе собственно-энергетических поправок к внутренним линиям и в которых нельзя выделить частей, представляющих собой поправки (более низкого порядка) к внутренним вершинам. Так, из диаграмм (106,10) неприводимы лишь б) и г) (не считая простой вершины а)). Диаграммы ж), э), и) содержат собственно-энергетические части; в диаграмме в) верхний горизонтальный пунктир можно рассматривать как поправку к верхней вершине, а боковые пунктиры в диаграммах д) и е) —как поправки к боковым вершинам.
Заменив в неприводимых диаграммах внутренние линии такими же жирными линиями, а вершины — черными точками (т. е. заменив приближенные пропагаторы D, G точными 3), а приближенные вершинные операторы у — точными Г)1), мы получим, очевидно, совокупность всех вообще вершинных частей.
>) Получающиеся таким образом диаграммы называют скелетными.
532
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[ГЛ. XI
Таким образом, разложение вершинного оператора имеет вид
Это равенство представляет собой по отношению к Г интегральное уравнение с бесконечным числом членов в правой стороне.
Из изложенного ясен общий принцип составления точных выражений из диаграммных блоков с любым числом концов. Они строятся как средние по вакууму от Г-произведений гейзенберговских операторов: по одному оператору ¦ф(д') на каждый конечный электрон, \|}(х) — на каждый начальный электрон и А(х) — на каждый фотон.
Приведем еще один пример: диаграммы вида
с четырьмя электронными концами («электронная четыреххвост -ка»). Мы придем к таким диаграммам, рассмотрев функцию
Kik.lmix 1, Х2; Х3, *4)=<0|ТяМ*1)Ы*2)Ы*з)Фт(*4)|0) (106,13)
(зависящую, конечно, лишь от разностей четырех аргументов). Ее компоненты Фурье можно представить в виде
Kikjm{Pz, Ра, Ри А>) =
=(2л)4 6<4) (Pi — Ps) $11 (Pi)$km(p2) — (2jt)46f4)(p2 — p3)9lm(pl)9kl(p2) +
В выражении (106,15) первые два члена исключают из определения функции Т(рз, р4; ри р2) диаграммы, распадающиеся на две не связанные между собой части с двумя внешними концами
