Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Суммирование по поляризациям электрона заменяет произведение (м'}Пи) (йМы) на M'fn(yp + т) Ми, так что член (110,14)
') Здесь необходимо некоторое уточнение. Электрон как стабильная частица не может в действительности превратиться в другую совокупность реальных частиц. Можно, однако, формально рассматривать в качестве последних некоторые воображаемые частицы с такими массами, которые бы допускали такое превращение. Получающееся соотношение надо понимать тогда в смысле аналитического продолжения к реальным значениям масс.
§ ] 10] ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПЕРЕНОРМИРОВКИ 551
в амплитуде Мц принимает вид
Z'2ind (р2 — т2) {M'fn (ур + т) МТп}.
По этому члену в мнимой части можно восстановить весь полюсной член в амплитуде рассеяния; согласно (79,5) находим
Z'2{M'fn(yp + m)MZ}
Mfl=---------^-5-----гт~^----р2^>т2.
11 р1 — т1 + гО ’ г
С другой стороны, вычисление этой же амплитуды непосредственно по диаграмме (110,8) дает
iM;i =iMfn • № (р) • iM?n.
Сравнение обеих формул подтверждает написанное выше предельное выражение для 9 (р) (первый член в (110,9)), причем
Z' = V^7- (110,15)
Покажем теперь, что после установления требуемого предельного вида электронного пропагатора уже нет необходимости в постановке каких-либо новых условий для вершинного оператора.
Рассмотрим диаграмму
I
I*
I
Рг Pi
(110,16)
описывающую рассеяние электрона во внешнем поле A<~e'>(k) (в первом порядке по полю) с учетом всех радиационных поправок. В пределе k-*0, р2->Р\ = р собственно-энергетические поправки к линии внешнего поля исчезают (напомним, что эти поправки исчезают вообще при всяком /е2 = 0). Тогда диаграмме будет соответствовать амплитуда
Мц = — еШ (р) Г (р, р\ 0)(Ы{р)- Aie)(k-+0) (110,17)
— произведение потенциала А^ на электронный ток перехода °UX41. Но при k->0 потенциал А^Цх) сводится к не зависящей от координат и времени постоянной. Такому потенциалу вообще не соответствует никакое физическое поле (частный случай калибровочной инвариантности), так что он не может вызвать
552 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ [ГЛ. XI
никакого изменения электронного тока. Другими словами, в рассматриваемом пределе ток перехода °UYaU должен просто совпадать со свободным током йуи\
<Ы(р)Г*(р, р\ 0)cU(p) = Zla(p)T*u(p) = u(p)yv'u(p). (110,18)
Это требование есть, по существу, тоже выражение определения физического заряда электрона. Легко видеть, что оно автоматически выполняется вне зависимости от значения Z\. Действительно, подставив S~l(p) из (110,10) в тождество Уорда (108,8), найдем
Гй (р, р\ 0) = ZfY — (Р) (УР — т)~ (ур — m)g (р) у*,
и равенство (110,18) удовлетворяется в силу уравнений
(ур — т) и = 0, й (ур — т) = 0.
Мы видим, что при составлении амплитуды физического процесса «перенормировочная постоянная» Zx вообще выпадает. Мало того, воспользовавшись неопределеностью, возникающей из-за расходимостей при вычислении Г, можно просто потребовать, чтобы было
й(р)Т^(р, р\ 0) и (р) = й (р) у^и (р), р2 = m , (110,19)
т. е. положить Z\ = 1.
Удобство такого определения состоит в том, что отпадает необходимость во введении поправок во внешние электронные линии: имеем просто
<11{р) = и{р).
В этом можно убедиться и непосредственно, заметив, что при Z\ = 1 массовый оператор (110,11)
J( = (yp — m)g(yp — m) (110,20)
и второй член в (110,12) очевидным образом обращается в нуль. Таким образом, не будут требовать «перенормировки» внешние линии всех реальных частиц — как фотонов, так и электронов ‘).
') При перенормировке фотонного пропагатора условие Z = 1 возникало как необходимое физическое требование, а после этого исчезновение поправок к внешним фотонным линиям происходит уже автоматически. С формальной точки зрения, однако, ситуации для фотонных и электронных внешних линий аналогичны: при Z ф 1 волновая амплитуда ец реального фотона
с учетом поправок умножалась бы на VZ,
§ 111] АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФОТОННОГО ПРОПАГАТОРА 553
§ 111. Аналитические свойства фотонного пропагатора
Исследование аналитических свойств фотонного пропагатора удобно начать с изучения свойств функции П(&2). Дело в том, что прямое использование для этой цели определения (103,1) затрудняется калибровочной неоднозначностью операторов А^{х) и проистекающей отсюда неопределенностью их свойств.
Исходя из выражения собственно-энергетической функции фотона через матричные элементы калибровочно-инвариантного оператора тока в § 104 было получено интегральное представление функции П(&2) (104,11). Обозначив переменную k2 через tx), рассмотрим свойства функции П(^) в плоскости комплексного t.
Из интегрального представления
оо
о
видно, что на отрицательной вещественной полуоси функция П(^) вещественна, а во всей остальной плоскости удовлетворяет соотношению симметрии
П (Г) = П* (/). (111,2)
Функция П(0 может иметь особенность лишь в особых точках функции р(0- Последние лежат при значениях t = k2, являющихся пороговыми для рождения виртуальным фотоном различных совокупностей реальных частиц. При этих значениях «вступают в игру» новые типы промежуточных состояний в сумме (104,9). Вклад от этих состояний равен нулю них<е порога и отличен от нуля выше порога, что и приводит к особенности функции в самой точке порога. Эти пороговые значения, разумеется, вещественны и неотрицательны2). Поэтому и особые точки функции П(^) лежат на положительной вещественной полуоси переменной t. Если провести разрез по этой полуоси, то функция П(^) будет аналитична во всей разрезанной таким образом плоскости.
