Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
G~l (р)9(р) = 1 - ie2\ У*9(р + к)Щр+к, р- k)9(p) ¦ SD^(k) .
Наконец, умножив это равенство справа на $~1(р), придем вновь к уравнению [ 107,2).
536
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[ГЛ. XI
§ 108. Тождество Уорда
Еще одна связь между фотонным пропагатором и вершинной частью, более простая, чем уравнение Дайсона, возникает как следствие калибровочной инвариантности.
Для ее вывода совершим калибровочное преобразование
(102,8), предполагая ^(х) = 6х(х) бесконечно малой простой (неоператорной) функцией 4-координат х. Тогда электронный пропагатор изменится на величину
6$(х, x') = ie$(x — x')[6x(x) — 6yl(x')]. (108,1)
Подчеркнем, что калибровочное преобразование такого вида нарушает пространственно-временную однородность и функция б!? зависит уже от аргументов х и х' по отдельности, а не только от разности х — х'. Ее разложение Фурье происходит поэтому по переменным х и х' в отдельности. Другими словами, в импульсном представлении б $ является функцией двух 4-импульсов:
6$ (р2, Р\)—^№(х, х') eip*x~ipix'd'lxdix'.
Подставив сюда (108,1) и произведя интегрирование по dixd% или d^d^x' (? =х — х'), получим
6$(p + q, p)=ie6x{q)[$(p)—$(p + q)]. (Ю8,2)
С другой стороны, при том же калибровочном преобразовании к оператору Лц(х) добавляется функция
6Л[Г,М=-^Г6х, (108,3)
которую можно рассматривать как бесконечно малое внешнее поле. В импульсном представлении:
(q) — iqv.6% (q). (108,4)
Величину 89 можно вычислить и как изменение пропагатора под влиянием этого поля. С точностью до величин первого порядка по 6х это изменение изобразится, очевидно, одной скелетной диаграммой:
1?
iS&(p + q,p) = —$-*—
РЧ Р
Здесь жирный пунктир — эффективная линия внешнего поля, т. е. ей сопоставляется множитель (см. (103,15))
бЛГ (q) + 6ЛГ (q) 3)^ (q).
§ 108] ТОЖДЕСТВО УОРДА 537
Но 4-вектор ЬАк] iq) продолен (по отношению к q), а тензор поперечен. Поэтому второй член здесь обращается в нуль, так что остается
i§?f(p+q,p)=^.—-------1..... ^—-» (108,5)
Р+Ч Р
где тонкому пунктиру сопоставляется обычным образом просто поле бЛ{е). В аналитической форме:
№ = е9(р + q) Г (р + q, р; q) 9 (р) • 6Л<е). (108,6)
Подставив сюда (108,4) и сравнив с (108,2), находим соот-
ношение
^ (р + q) — % (р) = (р + q) Г“ (р + q, р; q) 9 (р) ¦ qц
или для обратных матриц
$~l (P + q) — (Р) = <7цГ“ {р + q, р\ q) (108,7)
(И. S. Green, 1953).
Устремив в этом равенстве q-+0 и сравнив коэффициенты при бесконечно малом qц в обеих его сторонах, получим
~-&-1(р) = г»(р, Р; 0). (108,8)
Это — так называемое тождество Уорда (/. С. Ward, 1950). Мы видим, что производная по импульсу от (р) совпадает с вершинным оператором при нулевой передаче импульса1). Производная же от самой функции 9(р)
- -±- i<3 (р) = № (р) [-/Г** (р, р; 0)] 13 (р). (108,9)
Аналогичным образом можно было бы найти также и высшие производные, проводя вычисления с точностью до членов более высоких порядков по 8%. Нам такие формулы, однако, не понадобятся.
Рассмотрим теперь производную d<?(k)/dku от поляризационного оператора. В отличие от функции 9 (р) величина ^(k) калибровочно-инвариантна и не меняется при введении фиктивного внешнего поля (108,4). Поэтому производную от <? нельзя вычислить тем же способом. Однако и для нее можно получить определенное диаграммное выражение.
¦) В нулевом приближении, т. е. для пропагатора свободных частиц, это тождество очевидно: G~'{p) =\р— пг, и потому dG~ljdpn = у **.
638
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[ГЛ. XI
Для этого рассмотрим первую из диаграмм, входящих в определение 0*, — диаграмму второго порядка
ijP
г--------
р+к
О-
р
(108,10)
Сплошным линиям в ней отвечают множители iG (р) и iG{p-\-k). Дифференцирование по k заменит второй из них на idG(р + k)/dk, а согласно тождеству (108,9) такая замена эквивалентна добавлению лишней вершины на электронной линии:
\к'=0
ie д?Р
4it дк
Р+к/\Р+к
(108,11)
Мы видим, что в лервом неисчезающем порядке искомая производная выразилась через диаграмму с тремя фотонными концами («фотонная треххвостка»). Сразу же подчеркнем, что эта диаграмма сама по себе отнюдь не дает амплитуду превращения одного фотона в два. Амплитуда такого процесса выразилась бы суммой диаграммы (108,11) и другой такой же диаграммы с измененным направлением обхода петли; согласно теореме Фарри эта сумма обращается в нуль. Сама же по себе диаграмма
(108,11) неравна нулю.
Подобным образом можно дифференцировать и более сложные диаграммы, последовательно добавляя вершины с k' = 0 на все электронные линии, зависящие от k. Существуют, однако, диаграммы, в которых зависимость от k имеется и во внутренних фотонных линиях, например диаграмма слева на рисунке
Производная от графика в фигурной скобке представлена здесь в диаграммном виде путем введения нового графического обозначения— фиктивной трехчастичной фотонной вершины — точ-
§ 1091 ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 539
ки, в которой сходятся три пунктира и которой сопоставляется величина
4ш'^Г = = V (108,12)
Теперь можно дифференцировать любой график, добавляя на
