Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Ш„ = л/ 4^e;V4^4-^-, (113,3)
562 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ [ГЛ. XII
где вц — 4-вектор поляризации бозона; согласно (14,13) он удовлетворяет уравнению
e^k'1 — 0.
Амплитуде же Mni отвечает диаграмма распада бозона на пару:
t
Соответствующее выражение:
Mni — —e^4яе|1А ^ = й(р_)у^и(~ р+). (113,4)
Подставив (113,3—4) в (113,2), получим
2e*evIm^v=-g-Jfi- ? [ffe^do. (113,5)
поляр
При этом р = р_ = —р+ и е = е+ + е_ = 2е+— импульсы и суммарная энергия пары в системе ее центра инерции; интегрирование производится по направлениям р, а суммирование — по поляризациям обеих частиц.
Усредним теперь обе стороны равенства (113,5) по поляризациям бозона. Усреднение осуществляется формулой
eHev = —¦ -3- )
(ср. (14,15)). Приняв во внимание поперечность тензора 9^ и вектора /+l(^lv&v = 0) fk^^O) и использовав, что — получим в результате
Z $«¦>*>¦ (113,6)
поляр
Суммирование по поляризациям производится обычным образом, интегрирование по do сводится к умножению на 4зх, и в результате находим
2 Im & = Sp Yu (YP- + tn) у» (ур+ — т) =
е2^(р+р_-)г2т2).
§ ИЗ] ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОЛЯРИЗАЦИОННОГО ОПЕРАТОРА 563
Введем переменную
t = k2 = (р+ + p_f = 2 (m2 + р+р_). (113,7)
Тогда
е2 = ^, р2 = //4 — т2,
и окончательная формула для 1т ^ принимает вид
Im 9 (t) = — ^ д/----- ft + 2m2), *>4m2. (113,8)
Значение i = 4m2 — пороговое для рождения виртуальным фотоном одной электрон-позитронной пары (ср. примеч. на с. 553); в рассматриваемом приближении теории возмущений (~е2) состояние с одной парой является единственным, которое может фигурировать в качестве промежуточного состояния в условии унитарности (113,2), В том же приближении, следовательно, при t < 4m2, правая сторона в (113,2) равна нулю, так что
lm&(t) = 0, t < 4m2. (113,9)
По этой же причине в рассматриваемом приближении разрез для функции 3i(t)i в плоскости комплексного t простирается ©
4т2 -1 0 1
Рис. 19
лишь от точки t = 4m2 на вещественной оси, и эта точка должна фигурировать в качестве нижнего предела в дисперсионном интеграле (111,13). Таким образом, имеем
оо
4т2
Для формулировки результата удобно ввести вместо t другую переменную, определив ее согласно
//т2 = -(1-6)2/6. (113,И)
Это преобразование отображает верхнюю полуплоскость комплексного t на полукруг единичного радиуса в верхней полуплоскости комплексного |, как показано на рис. 19 (одинаковой штриховкой изображены соответствующие друг другу отрезки в обеих плоскостях). Нефизической области (0 ^ t/m2 ^ 4)
564
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[ГЛ. XII
отвечает при этом полуокружность | = e‘v, 0 ^ ер ^ л. Физическим же областям (t < 0 и t/m2 >> 4) отвечают правый и левый вещественные радиусы.
Интеграл (113,10) проще всего вычисляется с помощью подстановки
причем сначала имеем в виду случай t < 0 (тогда знаменатель в области интегрирования не обращается в нуль и мнимую добавку Ю можно опустить). Выраженный через переменную g результат интегрирования имеет вид
Аналитическое продолжение этой формулы определит функцию t?(t) ив области t > 4m2: для этого надо положить в ней | = = |||егя (при этом логарифм дает вклад в мнимую часть: 1п? = = 1п]!|+in)1). Для нефизической области надо положить ? = = el,f, и тогда
В предельном случае малых |i|, т. е. | —>- 1, эти формулы дают
В обратном же случае больших |i|, т. е. |->0, получим
По смыслу теории возмущений полученные формулы справедливы до тех пор, пока ^/4л <С D~l = //4л. Поэтому условие применимости формул (113,15):
Радиационные поправки, содержащие aln(|i|/m), называют логарифмическими.
') Осуществляемое таким образом аналитическое продолжение есть, как и требуется, продолжение на верхний берег разреза, поскольку полукруг на плоскости ? соответствует именно верхней полуплоскости t.
t'/Am2 — т-х2),
(113,12)
-5- Sin
(113,13)
(113,14)
(113,15)
(113,16)
5 114) РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ К ЗАКОНУ КУЛОНА 565
§ 114. Радиационные поправки к закону Кулона
Исследуем на основании полученных формул радиационные поправки к закону Кулона. Эти поправки можно наглядно описать как результат поляризации вакуума вокруг точечного заряда.
Без учета поправок поле неподвижного центра (с зарядом е\) дается кулоновым скалярным потенциалом <& = A{Q) = eJr. Компоненты его трехмерного разложения Фурье:
ф (к) = А(0е> (к) = 4яе,/к2,
С учетом радиационных поправок это поле заменяется «эффективным полем»:
<е) = Ае) + ^ор № = А{ое) + ±!?2>А}Р (114,1)
(ср. (103,15)). Второй член и дает искомую добавку к скалярному потенциалу. В первом приближении теории возмущений для ?^(k2) надо взять полученное в предыдущем параграфе выражение, а функцию 0(k2) заменить ее нулевым приближением
2>{k2) я* D (k2) = — 4я/к2.
Таким образом, радиационная поправка к потенциалу поля
6Ф (к) = — (— к2). (114,2)
Для определения вида этой поправки в координатном представлении надо произвести обратное преобразование Фурье:
6Ф(г) = $е^бф(к)-|^_. (114,3)
Поскольку 6Ф (к)— функция лишь от t =—к2, то, произведя интегрирование по углам, получим
оо оо
6Ф (г) = 6Ф (t)sin (г/~° d (-t) = 4^ Im 5 6Ф(-y2)e‘ryydy
