Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
1. Простые собственные значения Сначала предположим, что первоначальная, невозмущенная задача имеет только простые собственные значения. Соответственно этому предположению полагаем:
uLn =? + *? + 22?+--- (76)
Путем подстановки этих рядов в (75) получим диферг .иальное уравнение (74) и затем следующие диференциальные уравнения:
L Kl + Kvn = run - IInUnl (78)
l Kl + kwn = r vn — JInVn - W11, (79)
') При этом число измерений области безразлично. Интеграции в дальнейшем распространяются по всей области; элемент области обозначен здесь через dg. Теория возмущений
325
из которых можно одно за другим определить возмущения различного порядка, т. е. величины рл, V„,... И Vn, Wtt,...
Для этой цели введем в качестве искомых величин коэфициенты разложения
anj = \%ujdS
функции Vn по фучдаментальным функциям Uj, помножим уравнение (74) (заменив в нем индекс п через /) на vn, а (78) на U1 и вычтем из второго уравнения первое; интегрируя полу енное уравнение по основной области и пргобразуя первый член в левой части с помощью формулы Грина с учетом краевых условий (скажем, исчезающие краевые значения) получим:
dni (К — = dni — Kb т» причем Ьп1 = 0 при пф/ и Ьпп = 1, и для сокращения положено
dnl=\rUnUldS-
В результате имеем при l = ri:
K = dnn (80)
и при I ф п:
nt 1 \ ' Ая kI
Значение апп определяется из условия нормирования ^ и2п dg= 1, из которого получается ^ unvndg=0, откуда апп = 0. Таким образом, если ФУНКЦИИ Vn МОЖНО раЗЛОЖИТЬ ПО фуНКЦИЯМ Uj, то
d
idn} = \'unujdg), (81)
J=1 кп А/ J
причем штрих у знака суммы указывает, что следует опустить член с индексом- j — п.
После определения первого приближения аналогичным путем получаем второе:
со
w« = 5Lbjijuj
J=і
с помощью уравнений (74) и (79), из которых подобно предыдущему вытекает:
ос
Ki = ? aHidJi - Wni - V Ar (82)
J=і
Полагая и — /, получим второй возмущающий член для собственного значения, а именно:
оо 326
Проблемы колебаний
Гл. V
полагая же I ф п, получим:
bm = 2 aKjaJi — Wm У (83)
Для определения коэфициента Ьпп опять прибегаем к нормирующему условию^ и2dg= 1 и множитель при S2 приравниваем в нем нулю, откуда легко получить:
1 00
^=-Ee*' (84)
/=і
и второе приближение полностью определено.
Точно таким же образом определяются последовательно дальнейшие приближения.
2. Кратные собственные значения. В случае наличия кратных собственных значений, или, как иногда также выражаются, в случае „вырождения", необходимо дальнейшее исследование. Для понимания рассуждения, достаточно предположить, что первое собственное значение уравнения (74) кратности а, т. е. что I1=X2 = ... =\а = \ все же собственные значения \п с индексом а являются простыми. Усложнение, которое имеет здесь место, покоится на том факте, что в случае кратного собственного значения фундаментальные функции определены лишь с точностью до ортогонального преобразования и что при возмущении возможно ожидать непрерывного продолжения отдельных собственных функций лишь после надлежащего выбора системы этих функций, принадлежащих кратному собственному значению (ср. также гл. III, § 8, 4). Соответственно этому представим себе, что а фундаментальных функций, принадлежащих собственному значению X, переведены в другую систему таких функций с помощью подлежащего еще определению ортогонального преобразования:
сс
в« = 2ї»Л (И=І, 2, а) 7=1
и положим
Un=Urt + evn-\-e*wn-\-
причем /как коэфициенты уяу, так и функции vn, Wn, ... предстоит теперь определить. При а следует здесь положить и*=ип, и никаких изменений против рассуждений, проведенных в п. 1, не будет, вследствие чего можно ограничиться рассмотрением случаев п= 1, 2, ...,а. На основании последней формулы и диференциального уравнения (75) получим для vn и wn следующие уравнения:
сс сс
L К] + KVn = X IniUi — v-n ? InjUi, (85)
,7=1 /=1
а
і W + К*« = ™п — HnVnXmuJ ¦ (86)
/=і Теория возмущений
327
Помножив уравнение (85) на U1 и уравнение (74) (после замены в нем индекса п через I) на Vn и поступая затем, как в п. 1, получим, пользуясь обозначениями предыдущего пункта, уравнение
а
(K-Ii)=Id (dji - (87)
/= і
стало быть, в частности для 1=1, 2, ... ,а:
сс
О - ? (dji- V-Jjtin1 (/, п=\, 2.....а).
J=і
Из этих а2 уравнений, по методам гл. I, § 2, определяются однозначно, с точностью до порядка их расположения, величины ft,, 'jjl2,,.., Piij, как корни характеристического детерминантного уравнения
В интересах простоты предположим, что все эти корни различны
между собой, Т. е. ЧТО форма У ClnXlXl имеет только отличные друг
j,l
от друга собственные значения. В таком случае однозначно определена и ортогональная матрица (уп/). Для удобства записи обозначим теперь
сс
фундаментальные функции и* = У* YrliUi снова знаком ип; матрица (dnl)
7 = 1
является, стало быть, диагональной матрицей с элементами
dnn = V-m
между тем как остальные элементы — нули. Уравнения (87) дают теперь непосредственно для
