Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
о о
и затем, по подстановке в (61):
Xw2 (X) <2Х + СУ і -j- C3,
где C2, C3 — опять положительные числа, не зависящие от X и X. Отсюда вытекает, что
«2(*)< 2 + ^ + ?,
чем и доказывается наше утверждение.
В заключение заметим, что наш результат и наш метод доказательства остаются в силе и в том случае, если решения наших диференциальных уравнений не ограничены более краевыми условиями. Подчеркнет, однако, что при большем числе независимых переменных аналогичный результат уже несправедлив 1J.
4. Асимптотическое выражение решений. Обнаружив ограниченность решений, мы сверх того докажем следующее предложение: для всякого нормированного в интервале 0 =? х ^ 1 решения урав-
Простой пример противного дают нормированные фундаментальные функции
Y 2
-.,sJr—: Л (кй тг) — ср. стр. 289 — диференциального уравнения А и Iu = 0, исче-
и\ко,т)
зающие на окружности единичного круга (ср. W. Sternberg. Uber die asymptotische Integration partieller Differentialgleichungen II, Math. Arin., т. 86, особенно стр. 292—-295). § її Об асимптотическом поведении решений
317
нения и" — To-J-Xk = O со значением X > 0 существует такое решение уравнения <и" -J- \v= 0, что
и
Эта формула дает, таким образом, для больших значений X асимптотическое выражение решений и через тригонометрические функции г;. Для доказательства рассмотрим то решение уравнения г/'-f Xf = O, для которого a (0) = ^(0), K1(O) = Ut(O); тогда и — v=w удовлетворяет уравнению:
w" -J-XtiV = ru.
Помножив это уравнение на 2w' и интегрируя от 0 до х, в силу того, что iZf(O) = ^1(O) = O, получим следующее равенство:
X
та'2 (х) -J- Iw2 (х) = 2 ^ ruw'dx. (62)
о
Если обозначить через M .наибольшее значение |то(д:)[, через Ж' — наибольшее значение [^'(л:)!, в интервале 0 sg л: 1то из (62) в результате применения неравенства Шварца к правой части, в связи с тем, что Х^>0, вытекает равенство:
Mn < M1C, M1 < С,
где С — положительная постоянная, не зависящая ни ot X, ни от х\ следовательно, на основании равенства (62):
ХМ2<С2,
а стало быть,
Vi
как мы и утверждали.
5. Асимптотическое выражение штурМ-лиувиллевских фундаментальных функций. Для того случая, когда речь идет не о произвольных решениях диференциального уравнения (ри')' — qu -J--|-Хрк = 0, но о фундаментальных функциях для интервала, скажем, 0 sg X ^ тг с краевыми условиями и (0) = и (тг) = 0, мы задачу об асимптотическом выражении поставим несколько иначе. Для этой целц„предположим прежде всего, что диференциальное уравнение приведено с помощью преобразования (20'); указанного на стр. 277, к виду:
V-z-z-J-X*= 0, (63)
где новое. независимое переменное t изменяется в интервале 0=?/=?/, а г обозначает функцию, непрерывную в этом интервале. Будем теперь сравнивать я-ю фундаментальную функцию Zn уравнения (63), принадлежащую собственному значению Xn, с соответствующей я-й собственной функцией диференциального уравнения v" -J- Xf = 0.
В качестве удобного вспомогательного средства воспользуемся тем фактом, что выражение для z, представляющее интегральное уравнение 318
Проблемы колебаний
Гл. V
типа Вольтерры:
і
z(t) = a sin j/Т/ -f -L \ г (т) Z (т) sin УЇ (t — т) dz (64)
1/XJ
о
с произвольным постоянным а, дает те решения уравнения (63), которые исчезают при 1 = 0, что непосредственно получаем из формулы (10) на стр. 269, подставляя в нее вместо Nh функцию rz.
Так как z(t), согласно п. 3, остается ограниченной при всех значениях X, то из (64) тотчас вытекает ограниченность постоянной а1). Отсюда получается для а из уравнения (64) и из нормирующего условия і
\ z2dt =¦ 1 точная оценка
и вытекающая из нее оценка для z:
*(')-]/ ^ SinVU=O^f).
Так как я-е собственное значение диференциального уравнения Xn с возрастанием п стремится к бесконечности (ср. гл. VI, § 2, 2), то отсюда непосредственно получим Для п-й собственной функции zn (t) асимптотическое выражение:
MO = j/4 sinyT„f + ^ 0(1).
Но для Xn имеется асимптотическая оценка (ср. гл. VI, § 2, 6):
^ = 4^ + 0(1).
Следовательно, откуда
тт
siny X„/=sinп -jt-\-0
Стало быть, для нормированных собственных функций диференциального уравнения z" — rz ),г = 0 получается следующее асимптотическое выражение:
*) Впрочем, ограниченность функции г(t) нетрудно обнаружить непосредственно из интегрального уравнения (64).
§ її
Об асимптотическом поведении решений
319
Соответствующим же образом, после диференцирования интегрального уравнения (64), получается формула:
тт Г 21 тт *'„(<) = «7"]/' 7 «««у* + O(I).
(66)
Для исходного диференциального уравнения полученный результат выра-жается следующими соотношениями:
(67)
причем нормирующий множитель сп определяется формулой:
¦тИ
Sln^
J_ с*
VpP
dx,
I = U / I-dx.
о
Соответствующим образом имеем:
-1V
(68)
Точно таким же образом получаются асимптотические выражения для фундаментальных функций и их производных и при более общих . однородных краевых условиях. Выражения
