Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Другой тип фундаментальных функций мы получим по введении полярных координат г, (f в следующем виде:
при любом целом п и любом неотрицательном ).. Спектром остается, само собою разумеется, и здесь континуум неотрицательных чисел і 0, ,между тем как каждому собственному значению принадле-
жит лишь счетное множество фундаментальных функций, в соответствии с целочисленным характером п. Представление произвольной функции достигается здесь разложением в ряд Фурье в отношении п и интегральным выражением каждого коэфициента относительно г сообразно с предыдущим пунктом (ср. гл. VII, § 2).
Эти последние фундаментальные функции можно, впрочем, рассматривать Как линейную комбинацию произведений синусов с одним и тем Же значением X — а2 -}- ?2. Существует именно формула
4. Задача Шредингера о собственных значениях (ср. также гл. VI, § 5). В недавнее время, в связи с физической теорией квантов, Шредингер1) натолкнулся на тип задач о собственных значениях, спектр которых обнаруживает совершенно иную структуру, чем рассмотренные до сих пор, а именно состоит из непрерывной и из дискретной части, причем дискретный спектр не простирается в бесконечность, но имеет конечную точку сгущения. В простейшей задаче Шредингера речь идет о диференциальном уравнении
в пространстве, причем с обозначает данную положительную постоянную, г, o, і?—полярные координаты, а от собственных функций и требуется непрерывность в начале координат и конечность при г—>оо. Умножая диференциальное уравнение на шаровую функцию <f) и интегри-
руя по поверхности единичной сферы, получим для функции
U = Jtl (V \ г) Sin Щ, U = Jn (V~\ г) COS я<р
о
(ср. гл. VII, § 2, 4).
г
(72)
V
(г) = ^b (Г, O, <р) Г„ (&, ср) sin 6 dtp
') Schrodinger E., Abhandlungen zur Wellenmechanik, Leipzig 1927. § 12. Краевые задачи С непрерывным спектром собственных значений 323
обычным образом диференциальное уравнение
.2 . L1C и(л4-1)\
--'--jJ V = O, (73)
и из фундаментальных функций v этого уравнения при тех же краевых условиях, что и выцге, для г= 0 и г—>со, умножением на Yn получим фундамейтальные функции и = v Yn уравнения (72).
Введя вместо X в качестве нового параметра величину
2V—1
и вместо г переменную
2 = 2/-X г, получим диференциальное уравнение
,2 і / 1 , I я(я+1)\
которое мы установили в § 10, формула (51"). Из проведенных там рассуждений вытекает, что при действительном I, т. е. отрицательном X условие непрерывности в нулевой точке и конечности при г—»-со может быть выполнено лишь для целых значений « и что решения даются производными полиномов Лагерра в следующем виде;
__?. (2Я+І)
v = zne 2L (г).
1 + п
Следовательно, для первоначального диференциального уравнения числа
и только эти числа, являются отрицательными собственными значениями, которым принадлежат собственные функции:
..л-і'Л+'^п.л«.
При этом п, при заданном целом /, может пробегать все целые числа от 0 до I—1, a Yn представляет каждый раз 2п-\-1 линейно независимых шаровых функций. Найденный таким путем дискретный спектр состоит из бесконечного множества чисел с точкой сгущения нуль.
Далее?* утверждаем, что уравнение (72) Шредингера имеет собственным значением всякое положительное число X, т. е. обладает непрерывным спектром в виде континуума всех неотрицательных чисел.
Для доказательства подставим в (73) вместо v функцию w = rif\ получится диференциальное уравнение
„./,.? nln А- 1) \ гі'+П + у- J 'Jw=O
21* 324
Проблемы колебаний
Гл. V
типа, рассмотренного в § 11, п. 1. Его решения w остаются, таким образом, ограниченными при всяком положительном \ г 'решения
W
V = — стремятся к нулю при бесконечном возрастании г. Для того
чтобы обнаружить, что всякое положительное число \ является собственным значением, остается лишь доказать существование при всяком
0 регулярного в нулевой точке решения v. Этот факт можно получить из общей теории линейных дифереициальных уравнений. Но можио также непосредственно получить такое решение методом, не раз уже примененным нами, в виде постоянно сходящегося степенного ряда, причем целесообразно предварительно преобразовать наше диференци-ааьное уравнение подстановкой z = r~neiyr v в такое диференциальное уравнение для s, у которого подстановка степенного ряда приводит к двучленной рекуррентной формуле.
§ 13. Теория возмущений.
Если известны собственные значения \п и соответствующие нормированные и ортогональные собственные функции ип линейного самосопряженного диференциального уравнения
= 0 (74)
для заданной области1) и заданных краевых условий, то с помощью важного для приложений метода приближений, так называемой теории возмущений, можно вычислить собственные значения и фундаментальные функции задачи о собственных значениях „близкого" или „возмущенного" диференциального уравнения
і К]— eru„4-X„«„ = 0; (75)
при этом краевые условия и область остаются те же; г обозначает заданную, непрерывную в основной области функцию, а є—параметр; ип vi \ —фунчаментальные функции и собственные значения новой задачи. В дальнейшем мы предполагаем, что как новые собственные значения, так и новые собственные функции допускают разложение по степеням параметра возмущения є, причем от доказательства возможности такого разложения мы здесь воздержимся.
