Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
ы(х)=Х jК(x,^p(S)k(S)^S + g(x). (100)
причем
g(x) = -yК (x, S)(J>(S)rfS
X,
есть данная непрерывная функция от х. Определение решения к уравнения (99) при заданных краевых условиях эквивалентно, сгало быть, решению интегрального уравнения (100). Однородному уравнению
L [к] 4-Хрк=0 (101)
соответствует однородное интегральное уравнение:
в (*)=*(\(х, S) P (^B (S)^S
X0
22 Куравт-Гильберт. 338
Проблемы колебаний
Гл. V
или, если ввести
U(X)Vp(X) = г (х)
в качестве новой неизвестной функции, помножить интегральное уравнение на Vp(x) и положить К(х, Е) =К(х, S )|/р (Х) р (S):
Ядро К(Xi S) нашего интегрального уравнения (102) симметрично, так Как Ци)— диференциальное выражение самосопряженное1); мы можем применить все соответствующие теоремы из гл. III, и из них мы тотчас получим для диференциального уравнения (99) следующие результаты (отчасти, впрочем, явствующие уже из п. 2):
Между краевой задачей неоднородного диференциального уравнения (99) и краевой задачей однородного диференциального уравнения (101) при заданных однородных краевых условиях существует следующая альтернатива: при твердо выбранном значении X либо однородное диференциальное уравнение (101) имеет лишь тождественно исчезающее решение — „X не является собственным значением уравнения (101)"; в этом случае неоднородное уравнение (99) имеет при произвольно выбранном (J) (х) одно и только одно решение. Либо для значения X = Xi однородное уравнение (101) имеет не исчезающее тождественно решение U1—,,Ii есть собственное значение уравнения (101) с соответствующей собственной функцией U1"; в таком случае для разрешимости неоднородного диференциального уравнения (99) при X=Xt необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:
для всех собственных функцир. Ui, принадлежащих собственному зна• чению Xi.
Далее' существует последовательность собственных значений X3, X2, ..., причем Xn—> со, с соответствующими собственными функциями U1, U2,..., которые образуют бесконечную систему функций, удовлетворяющих условиям ортогональности:
Всякая функция w (х), которую можно выразить истокообразно с помощью функции Грина К(дг, S) через кусочно-непрерывную функцию <р (S) в виде
(102)
W
(лг) = $К(ЛГ, S)<p(S)dS,
і) На этом выводе и его дальнейших следствиях основывается важность этого предположения, сделанного о дифференциальном выражении L (ы). Функция Грина
339
допускает разложение по собственным функциям в абсолютно и равномерно сходящийся ряд:
СО Xi
™ M=^iiCnUn(X)1 Cn = ^щип dx.
Л=1 X0
Сово*упность функций, разложимых но этой теореме, можно охарактеризовать еще иначе и притом проще. В силу основного свойства функции Грина из формулы (94) следует уравнение L[w\ = — <f(x); обратно, если перед нами какая-либо функция w(x), удовлетворяющая краевым условиям и имеющая непрерывную первую и кусочно-непрерывную вторую производную, то можно для нее построить распределение истоков <f (х) при помощи равенства L [w\ =— <f (х). Мы получаем, стало быть, следующий результат: Всякая удовлетворяющая краевым условиям функция w(x) с непрерывной первой и кусочно-непрерывной второй производной допускает разложение в абсолютно и равномерно сходящийся ряд
оо
^ M = ^iCnUn(X). п=1
Из этого предложения непосредственно вытекает, что фундаментальные функции образуют полную ортогональную систему. В самом деле, всякую непрерывную в области G функцию можно аппроксимировать в среднем с какой угодно точностью при помощи непрерывной, удовлетворяющей краевым условиям функции с непрерывными первой и второй производными, а стало быть, в силу упомянутой теоремы разложения, ее можно также аппроксимировать при помощи конечного аггрегата вида:
т
п=1
К уточнению теоремы о разложении нас приводит сделанное уже ранее замечание, что все собственные значения положительны (ср. стр. 278), что, стало быть, на языке теории интегральных уравнений, ядро К(х, ?) определенно.^,Так как к тому же К(х, ?)— непрерывная функция от х и то можно применить теорему Mepcepa из гл. III, § 5, 4, и мы приходим к выводу, что разложение в ряд ядра
К(х, S) = іЩЩ ? (ЮЗ)
n = l "
и срответственно
К(х, S) = T unW un&) (103')
сходится абсолютно и равномерно. Эта формула, которая представляет выражение функции Грина в явном виде через фундаментальные функции и кратко называется билинейной формулой, при постоянном 5 дает 22* 340
Проблемы колебаний
Гл. V
разложение непрерывной функции с кусочно-иепрерывной первой производной. Построив линейную комбинацию
^ff1Kfx1 EjJ + ^KfJc, У+...,
получаем непрерывную функцию, первая производная которой делает
ее а, а, в заданных точках Є, . заданные скачки — • ' ,,--— ...... и кото-
рая разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся рі-д по собственным функциям. Так как из всякой функции с кусочно-непрерывными первой и второй производными можно вычесть такую специально подобранную функцию S, чтобы разность удовлетворяла условиям приведенной выше теоремы разложения, мы приходим непосредственно к следующему результату: для применимости теоремы о разложении достаточно, если производные первого и второго порядка непрерывной функции w (х) кусочно-непрерывны.
