Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
вычисление моментов поля
151
Отметим также, что часто статистика ТИ макроскопических образцов, содержащих ~1023 независимых молекул, полагается гауссовой на основании центральной предельной теоремы. Однако строго гауссовость ТИ следует лишь в однофотонном приближении (§ 4.5). Как будет показано в § 5.4, двухфотонное ТИ — существенно не гауссово, что в эксперименте проявляется в отсутствии случайных совпадений фотоотсчетов, а в теории — в отличии от нуля кумулянтов более высокого порядка, чем второй (см. (3.3;42)). Другим интересным проявлением оптического энгармонизма вещества является наличие нечетных моментов поля ТИ <§ 5.3).
§ 5.2. Вычисление моментов поля
с помощью теории возмущения
Обычно в квантовой механике динамические процессы описываются с помощью вероятностей переходов, которые определяются «золотым» правилом Ферми (2.3.32). Вероятности излучения одного, двух, . . . фотонов пропорциональны диагональным моментам четного поряда (^a1), O^a1U2). . . . Однако для описания интерференционных экспериментов надо знать недиагональные моменты (аїа2), . . ., и, кроме того, как будет ясно из дальнейшего, ангармоническое вещество может излучать моменты нечетного порядка (а*а2а3).
В связи с этим мы используем вместо золотого правила более универсальный формализм, основанный на общей теории возмущения (§ 2.3). Для этого выберем в формуле (2.3.20) в качестве оператора наблюдаемой величины интересующий нас одновременный х) момент
/ (t) = O1V)... ап (t) (1)
илиТхарактеристический оператор /(?) = % (і), который после усреднения по начальному состоянию позволит вычислить любой нормально-упорядоченный момент.
Энергию взаимодействия возьмем снова в простейшем приближении — дипольном с неподвижными атомами. Объединим в (3.2.14) индексы: к = {fc, vfc, Stv), где Szcv= + I5 тогда оператор электрического поля в центре /-й молекулы в представлении взаимодействия выразится через операторы рождения и уничтожения следующим образом:)
E0 (Vjt) = — т S ClsjO0k ехр (iskakt), (2)
к
') Переход к разновременным моментам в случае свободного поля тривиален.152
ангармоніізм ii тепловое излучение
[гл. 5
где
_ + _
oftv+ = ?fcvi ?fcv- = ^fcVi Ckvsj ?= Sl: у ехр (— ishk- Vj).
Коммутаторы для новых операторов равны
[ак, ак>] = — sko^ = — s,;6fcfc.6yv'6s7. (4)
Снова объединим индексы:
q = {;, а, к} = {/, а, к, vfc, sAv}, (5)
тогда энергия взаимодействия свободного поля с образцом в момент времени tn примет вид:
(tn) = n = ІЙ S Cgd^a/0**, (6)
і
df = (*n). = = — сз ,
(a5)+ = a-, q = {/', a, fc, vfc, — sfcv}.
Связь выходных и входных моментов. Подставив (1) и (6) в (2.3.2) и усреднив по начальному состоянию с независимыми полем и веществом, получим общее выражение для моментов выходного поля через моменты входного (т. е. начального) поля в п-м порядке теории возмущения:
п P=O
Im = S <р) 9п <а„ • • • а Ч,. . . актад . . . aQn>, (81
а. ••• в„
5n K1 • ¦ • = (- 1)р(2я)" C91.. . свп Ф {<$?> ^ (^1. . . tB)},
(9)
Фв"9n (^l • • • — ' ' • 021 •• • 9р, p-iop+i, р-)-2 • • . вга-1, п>
(10)
б {/(?!... *„)} = (2л)-»$ dfi... dfj (І!... fn) ехр і (Oit1 --... <an*n)
(И)
(если один из индексов 0-функции меньше 1, то 0 = 1).
Теория возмущений в форме (7) определяет закон преобразования моментов падающего поля образцом, т. е. полностью определяет все его оптические свойства. Заменив в (7) моменты (1) на характеристический оператор и воспользовавшись правилами коммутации (4.5.16), получим закон преобразования ^-функции.§ 5.2]
вычисление моментов поля
153
В частности, полагая начальное состояние поля вакуумным, лайдем %-функцшо спонтанного поля, излучаемого образцом. Если при этом считать начальное состояние вещества равновесным с температурой T и пренебречь радиационным охлаждением, то спонтанное излучение переходит в тепловое. Далее, если в падающем излучении возбуждена одна мода, то (7) описывает рассеяние света, как упругое, так и комбинационное. В случае когерентного состояния падающего поля и т = 1 (7) определяет последовательность матриц рассеяния СД™> через равновесные моменты образца. ?Л2> при этом, естественно, совпадает с (4.6.15). ?Л3> описывает эффекты сложения и вычитания двух частот, включая удвоение и оптическое выпрямление. ?Л4> описывает преобразование трех частот и т. д.
Полученные соотношения не учитывают многие существенные факторы, однако мы здесь лишь стремились на простом примере подчеркнуть возможность феноменологического описания оптических свойств образца конечных размеров, которая должна сохраниться и в более реалистичных моделях.
Итак, согласно (7)—(10) вся индивидуальность образца заключена в иерархической последовательности матриц и^пр\ которые являются фурье-образами функций корреляции для дипольных моментов ф(пр), «усеченных» с помощью 8-функций. Это усечение обеспечивает причинную последовательность взаимодействий во времени и формально эквивалентно замене преобразования Фурье на преобразование Лапласа. В спектральном представлении умножению на 8-функцию соответствует свертка с 0 (щ) (см. 2.4.7а). Для краткости эту операцию будем называть преобразованием Гильберта (хотя последнему отвечает лишь 1-е слагаемое в (2.4.7а)). При п > 3 в (10) имеется п — 1 8-функций, чему соответствует многомерное преобразование Гильберта (случай п = 3 см. в [152]). В результате моменты поля (т. е. его спектральные функции) оказываются пропорциональными гильберт-образам спектральных функций молекул, что и приводит к превращению дискретного спектра молекул в сплошной спектр многофотонного спонтанного излучения.