Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Операторы поля в правой части (7) можно с помощью (4) представить в виде суммы нормально-упорядоченных операторов, например *),
«los = : ?i«2: + o-2, ахагаг = : A1A2O3: + агб- -f a26j3 + аз612, (12)
(IlCUjhflx = : аі<іга%ах + + «i«s6-4 + <Zi<z3o-4 +
+ ai« .o-; + O2O3бІ4 -f а2а46Гз : 4- д^ + 6-o-4 ¦
Эта процедура в более сложных случаях облегчается применением теоремы Вика [152]. 154
ангармоніізм ii тепловое излучение
[ГЛ. 5
Символы Кронекера здесь определены следующим образом:
бГз = Sfclfc2Sviv^1Ssa; (13)
операторы в произведениях, окруженных двоеточиями, следует располагать в нормально-упорядоченной последовательности. Если входное поле находится в состоянии вакуума, то вклад в (7) дадут лишь неоператорные слагаемые в (12).
Общие свойства преобразования. Рассмотрим некоторые общие свойства разложения (7) и многочастотных спектральных функций Ui-np^. Из определения (8) следует
J^(HTJ) ^ J?(n, п-р)* _ ( J /ty
Эрмитовость операторов А и определения (9), (10) дают
'In-.-Qi
где черта над индексом q означает обратный знак частотного индекса s. В (7) вместо операторов ^a1 .. . ат> можно взять любой оператор поля, в частности, тождественный оператор
P=O Ї
Очевидно, это равенство может выполняться при всех состояниях ПОЛЯ лишь если
S 1CU=0- (16>
«1- ¦ • 1)1
P=O -
Таким образом, число независимых матриц U1-np^ с различными индексами р равно порядку теории возмущения п. Связь (16) можно получить также из определения (9) и тождества O12 + 02i =
2)И<«Р> ~ 21 ( - 1)ре21- • ¦ V p-Am, р+а • • • n = (17>
р р
Например, при п = 2, 3:
O12-H- Q21 = 0, Q12B23 - B23 + B21 - O21B32 = 0. (18)
Формулы (12) и (16) позволяют уменьшить порядок моментов в правой части (7) на 2, так как старшие члены в (12) благодаря (16) сокращаются. В результате выходной момент порядка т в п-и порядке теории возмущения определяется через входные моменты порядка т' т -f- п — 2 (это следует также из (2.3.22)).
Пусть теперь матрица плотности вещества диагональна в энергетическом представлении, тогда временные моменты cp (^1 . . . tn) стационарны (т. е. не меняются при смещении всех аргументов на произвольный интервал т), а спектральные моменты пропорциональны 6-функции: § 5.2]
вычисление моментов поля
155
Отсюда знаковые индексы s (которые иногда удобно выписывать отдельно над общим индексом q) не могут быть все одинаковыми. Например:
Г= 4K*cqiCc? [((Ilal ih) d{;,4: (fa)> 9 (t, - h)} =
= 2яб (O)1 — CO2) cqiCq2 j dte^'Q (— t)(djl0ll (t) 4? (0)>, (21) = - 2лб (®1 - M2) C91C42 J die™ <d?a> (t) d%a2 (0)>. (22)
Сравнение (10) с (2.4.6) (при отождествлении операторов f} и dja) показывает, что ф(22> = ф<_>. Аналогично, ф(20) = ф<') и ф(аі) = Где ф — «полная» функция корреляции. Отметим, что здесь, в отличие от § 2.4, обе величины d и Е, образующие энергию возмущения,— операторные. Преобразование (7) до усреднения и при е = 0 является унитарным, полностью учитывающим квантовую динамику взаимодействующих систем. Этот формализм можно применить и к одиночному атому, и он, в принципе, охватывает явление естественного уширения атомного спектра и его лембовский сдвиг при вакуумном падающем поле. Мы будем считать. что эти малые поправки учтены заранее в спектре нулевого приближения вещества с помощью замены є —у Aco *). Заметим, что (7) при M 1 описывает и многочастичные эффекты — элементарные процессы с участием нескольких молекул.
Высшие поправки. Существенно, что MP СДП) содержит, кроме основного слагаемого п-то порядка по заряду электрона, еще поправки высших порядков, происхождение которых ясно из процедуры нормального упорядочения (12). Примером поправки четвертого порядка к СД2> является первое слагаемое в (5.4.9). Такие поправки в квантовой теории поля интерпретируются как результат рождения и уничтожения виртуальных фотонов. Чтобы точно рассчитать эффект порядка и, необходимо просуммировать бесконечное число поправок порядка п + 2к. Для этой процедуры разработан ряд приемов, использующих диаграммы Фейнмана, теорему Вика и т. д. [152J. Фактически при решении кинетического уравнения (§ 4.5) также суммируются высшие поправки.
С помощью (7) при вакууме на входе можно найти также второй момент или спектр ТИ образца. Во втором порядке спектр поля будет обычным однофотонным повторением спектра веще-
Можно надеяться, что с помощью такой замены осуществляется переход от рассматриваемой здесь системы «молекулы + поле» (с медленно остывающими молекулами) к системе «термостат + молекулы -f- поле» (с постоянной температурой молекул) в случае, когда можно пренебречь эффектами насыщения и сдвига уровней под действием падающего поля.
= 0,
(20) 156
ангармоніізм ii тепловое излучение
[гл. 5
ства (22), который можно было бы получить и с помощью ФДТ (§ 4.3). Однако при учете поправки четвертого порядка спектр из дискретного становится непрерывным, что уже противоречит ФДТ (см. конец § 5.1). Формально это происходит из-за умножения функции корреляции вещества на 9-функцию, т. е. из-за гильберт-трансформации спектра. Физически же такое излучение в окнах прозрачности можно объяснить реакцией излучения на движение зарядов (как и сдвиг Лемба). Аналогично, как будет ясно из следующего параграфа, двухчастотный третий момент ТИ пропорционален не равновесному двухчастотному спектру вещества, определяемому квадратичной ФДТ и содержащему лишь молекулярные частоты, а его гильберт-трансформанте.
