Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
существует понятия фазовой скорости. Для частот между нулем и со0 имеем
диспергирующие волны, так как фазовая скорость не постоянна, а зависит от
k. Для больших длин волн (или маленьких расстояний между грузиками),
когда а,Д<<51, фазовая скорость перестает зависеть от длины волны и волны
приобретают характер волн без дисперсии. Это можно показать, разложив sin
1/2ka в ряд Тейлора:
' 1 , \ ( 1 , \ 1 / 1 , У
/¦=- sm I
/ Тм \
-| /~ Т 0а [2 /-Гоа
ГМ ( 1 , \ Ум
sin [-ka] r- [-ka\-T[-;Tka) +.
2 ka) r f±ka
-YT-w['~ я(Ла*)н ] . (25)
Введя понятие средней массы на единицу длины (в состоянии равновесия), т.
е. ро=М/а, получим для непрерывной струны
уФ =
Y%- <2б>
*) Прекрасная демонстрация дисперсионного соотношения [см. уравнение
(23)] дана в статье: J. М. F о w 1 е г, J. Т. Brooks, Е. D. L a m b е,
One-dimensional Wave Demonstration (Опыты с одномерными волнами), Am. J.
Phys, 35, 1065 (1967).
156
Таким образом, фазовая скорость поперечных бегущих волн для непрерывной
струны постоянна и не зависит от частоты. Уравнение (26) аналогично
результату, полученному в главе 2 для отношения в) Ik в случае стоячих
волн в непрерывной струне [уравнение (2.22), п.2.2].
П р и м е р 2. Продольные волны в струне с грузами. Закон дисперсии в
этом случае можно получить из закона дисперсии для поперечных волн, если
заменить натяжение Т0 произведением коэффициента жесткости К пружины на
расстояние между грузами а [см. уравнение (2.78), п.2.4]. В непрерывном
приближении получим [подставляя в уравнение (26) Ка вместо Т0]
Обозначение Ка-К^ должно напомнить, что если вы добавите последовательно
еще несколько пружин и полная длина пружин станет равной L, то
коэффициент жесткости всей пружины Kl будет
t-o Ч]ОТГГфГТГГГГГГГГТУОТ uni
равен произведению aJL на К, где К - коэффициент жесткости для одного
элемента пружины длиной а. В соответствии с уравнением (27) продольные
волны в непрерывной струне не имеют дисперсии. На рис. 4.2 показан
бегущий "волновой пакет", состоящий из областей сжатия и разрежения.
Фазовая скорость звука. Модель Ньютона. Ньютон первым вывел Уравнение,
позволяющее определить скорость звуковых волн в воздухе. Однако его
формула дала неверный результат - около
(27)
*=/ ami
I с I I
! MU| !
Рис. 4.2. Продольные бегущие волны сжатия (с) и разрежения (г) в пружине.
Шестой виток спирали отмечен, что позволяет следить за его движением.
157
280 м/сек, в то время как измеренная на опыте скорость звука равна 332
м/сек (при нормальных температуре и давлении, т. е. при давлении в 1
атмосферу и температуре 0°С). Вывод формулы Ньютона чрезвычайно прост, а
причина ошибки достаточно интересна. Рассмотрим этот вывод.
Если воздух находится в замкнутом сосуде, то он создает определенное
давление на его стенки: воздух ведет себя как сжатая пружина, которая
стремится выпрямиться. Предположим, что сосуд представляет собой цилиндр,
плотно закрытый неподвижной стенкой с одной стороны, а с другой -
невесомым поршнем, способным перемещаться. Воздух, подобно пружине,
стремится вытолкнуть из цилиндра поршень, действуя на него с силой F. В
равновесии внешняя сила, действующая на поршень, уравновешена силой, с
которой воздух действует на поршень. Для пружины, начальная длина которой
Lb а длина в сжатом состоянии L (Е<Хх) и коэффициента жесткости Kli сила
F равна F=Kl(Li-L). Изменение силы F при изменении длины пружины L мы
получим, дифференцируя это выражение:
dF = - KLdL. (28)
Аналогично, воздух действует на поршень с силой F=pA, где р - давление, а
А - площадь поперечного сечения цилиндра. При смещении поршня от
положения равновесия на небольшую величину dL объем изменяется на dV=A
dL. Соответственно сила меняется на величину
dF=Adp = A (J^-^AdL, (29)
где индекс нуль означает, что производная dp/dV взята при равновесном
объеме. Сравнивая уравнения (28) и (29), мы можем написать
для воздуха в цилиндре выражение, эквивалентное коэффициенту
жесткости пружины:
Ъ = (30>
Рассмотрим сжатую пружину с коэффициентом жесткости KL, находящуюся в
равновесии при длине Ь0. Пусть линейная плотность массы пружины равна р"
(лин.). В этом случае фазовая скорость продольных волн равна [см.
уравнение (27) ]
'¦2- KlL° (31)
Ро (лин.)
Мы найдем с помощью выражения (31) скорость звука, если воспользуемся
формулой (30) для Kl- Объем воздуха в равновесии равен V0=ALо, а линейная
плотность массы воздуха в цилиндре равна
р0 (лин.) L0 = ро (объемн.) ALa, (32)
где р0(объемн.) - объемная плотность массы в состоянии равновесия.
Подставляя выражения (30) и (32) в (31) и опуская обозначение (объ-
158
емн.) у ро, получим следующее выражение для скорости звука:
v2 = _ Vo (dpldV)0'
Ро
Нам остается найти dp/dV - скорость изменения давления при изменении
объема. Ньютон использовал закон Бойля - Мариотта, из которого следует,
что при постоянной температуре произведение давления на объем есть
постоянная величина:
pV = P0V0, Р = (34)
Здесь р о - давление в равновесном состоянии. После дифференцирования
