Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
связанных маятников, на которую в точке z=0 действует внешняя сила.
Вернемся к рис. 3.10 из п. 3.5, на котором показано взаимное расположение
трех связанных маятников. Перепишем точное уравнение (3.62) движения для
п-то маятника:
й> = --+ + l - - - (12)
В установившейся бегущей волне (так же как и при вынужденных
установившихся колебаниях замкнутой системы) все движущиеся элементы
совершают гармоническое движение. Поэтому, какой бы ни была фазовая
константа, для должно выполняться условие
ф" = - югф". (13)
Подставляя уравнение (13) в уравнение (12) и деля на (/), получим
2__М. 1 __К ('Фп-и ~]~ - i) МЛЛ
I ^ М М
Синусоидальная бегущая волна. Предположим, что мы имеем синусоидальную
бегущую волну вида
= A cos (со/ + ф - kz), z = na.
Легко показать, что в этом случае
ф"+1 + ф"-1==2ф"соз ka
и уравнение (14) принимает вид
(r)2 = Т + cos&0 (15)
или
й! = 1 + ?8'п4к (16)
Это соотношение в точности повторяет дисперсионное соотношение [уравнения
(3.91)-(3.98), п.3.5] для вынужденных колебаний. Мы видим, что диапазон
частот у синусоидальных волн одинаков для бегущих и для стоячих волн и
простирается от шш1п до ютах, где
tomin = == Ю", Ютах = у-(17)
Экспоненциальные волны в открытой системе. Можно думать, что для открытой
системы при частотах возмущающего воздействия, меньших граничной частоты
comin=co0, дисперсионный закон имеет тот же вид, что и для замкнутой
системы. Это предположение верно. Для открытой системы связанных
маятников, простирающейся от z=0 до +оо (внешнее воздействие приложено в
точке 2=0) и
154
возбуждаемой в точке г=0 частотой о>-<о) 0, имеем ¦ф(2, t) = Ae~xz cos
со/, г -па,
(18)
(19)
Экспоненциальные "зигзагообразные" волны. Аналогично, если частота
возмущающего воздействия больше верхней граничной частоты, то мы имеем
экспоненциальные "зигзагообразные" волны.
Таким образом, экспоненциальные волны в открытой системе, находящейся под
внешним воздействием, отличаются от тех же волн в закрытой системе лишь
отсутствием члена с ехр кг, который обращается в бесконечность при z=oo.
Заметим, что в экспоненциальной волне все движущиеся элементы колеблются
с одинаковой фазой [см. уравнения (18) и (20)1; поэтому здесь уже нет
такого понятия, как фазовая скорость, так как нет ни волны, которая
распространялась бы без изменения формы, ни волны, распространяющейся с
изменением формы, но с различимыми гребнями и впадинами.
Мы показали на примере связанных маятников, что закон дисперсии для
данной среды, связывающий со и k, одинаков как для бегущих волн, так и
для стоячих волн, обусловленных либо свободными колебаниями, либо
установившимися вынужденными колебаниями замкнутой системы.
Диспергирующие и недиспергирующие синусоидальные волны. Волны называют
недиспергирующими (или волнами без дисперсии), если закон дисперсии имеет
вид
В противном случае волны называют диспергирующими (или волнами с
дисперсией). Символ k в выражении (22) напоминает нам, что мы имеем дело
с синусоидальными волнами. Диспергирующая волна, представляющая собой
суперпозицию бегущих волн с различными волновыми числами, будет менять
свою форму по мере распространения в пространстве, так как составляющие с
различными длинами волн распространяются с разной скоростью. Таким
образом, различные по частоте составляющие расходятся ("диспергируют") в
пространстве. Диспергирующими волнами или волнами с дисперсией называются
синусоидальные волны, для которых фазовая скорость иф=со/k изменяется с
длиной волны.
Реактивные экспоненциальные волны. Когда частота возмущающего воздействия
со не лежит в полосе пропускания между нижней и верхней граничными
частотами (в некоторых случаях первая из этих частот может быть равна
нулю, а вторая - бесконечности), то, как мы только что видели, волны
имеют в пространствеэкспонен-
ф(г, t) = A(-1)п е~^cosat, г = па,
(20) (21)
v (k) = -- = константа (не зависит от k).
(22)
155
циальную форму. Такой тип волны иногда называют "реактивной" волной.
Иногда говорят о "дисперсивной" среде и о "реактивной" среде, имея в виду
прозрачную и непрозрачную среду соответственно (см. главу 3, стр. 135).
Очевидно, что одна и та же среда может быть дисперсивной в одном
частотном диапазоне (полоса пропускания или прозрачности) и реактивной в
другом диапазоне (полоса поглощения или непрозрачности).
В приведенных ниже примерах мы будем иметь дело с фазовыми скоростями
диспергирующих волн.
П р и м е р 1. Поперечные волны в струне с грузами. Дисперсионное
соотношение *) для поперечных волн в струне с грузами имеет вид [см.
уравнение (2.70), п. 2.4]
c°2 = '^sin2T^a' (23)
где То - натяжение в равновесном состоянии, М - масса грузика
и а - расстояние между грузиками. Отсюда следует, что фазовая скорость
поперечных бегущих волн в этом случае равна
" sin2~ka
^ = ^ = ^2 2- (24)
ф k2 Ма k2 ^'
для 0^6 ^я. Для частот, больших граничной частоты
со0=У4Т0/Ма,
имеем экспоненциальные "зигзагообразные" волны, и в этом случае не
