Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
пока не получите установившееся состояние. Меняйте частоту метронома,
чтобы найти резонанс. Вблизи резонанса вы можете наблюдать переходные
биения. Они не только красивы; по ним можно судить, как далека система от
резонанса. Вычислите ожидаемую резонансную частоту, используя соотношение
Xv= gh. Подсчитайте эту частоту заранее, чтобы быстро достичь резонанса,
установив нужную частоту метронома. Когда вы достигните резонанса,
предоставьте воде колебаться и измерьте время затухания свободных
колебаний.
Если сосуд достаточно легок, так что масса сосуда с водой определяется
главным образом массой воды, и если полная масса достаточно велика, чтобы
сообщить достаточную отдачу, то резонайс можно почувствовать по ощущению
отдачи в руках. В этом случае нет нужды в метрономе. Вы сможете видеть
всплески,
147
если возбудите пилообразные волны в обоих горизонтальных направлениях. В
результате вода будет выбрасываться в воздух. Линейная теория колебаний
не в силах объяснить это явление.
3.34. Опыт. Прямоугольные двухмерные стоячие волны. Возьмите
прямоугольную коробку из полиэтилена, в которой хранят лед, или другой
подобный сосуд. Наполните его до краев водой и затем добавьте воды
настолько, чтобы переполнить сосуд. (Это уменьшит затухание, вносимое
сторонами коробки.) Легонько стукните по коробке и наблюдайте свободные
колебания стоячих волн. Лс,станьте гироскоп (детскую игрушку). Поднесите
вращающийся гироскоп к одной стороне коробки. Вы сможете наблюдать
постепенное уменьшение длин волн вынужденных колебаний (стоячие волны) по
мере уменьшения скорости вращения гироскопа. Вероятно, вам удастся
наблюдать и прохождение через резонанс.
3.35. Опыт. Стоячие волны в воде.
а) Погрузите вибрирующий камертон в воду и наблюдайте за волнами,
особенно за волнами между стержнями камертона.
б) Расположите вибрирующий камертон над поверхностью воды и смотрите в
пространство между стержнями камертона. (Некоторые моды камертона быстро
затухают. Имеется одна, которая существует несколько секунд.) Попытайтесь
осветить камертон под различными углами с помощью небольшой лампЛки
(параллельно и перпендикулярно гребням), чтобы увидеть удивительную
"структуру" колебаний.
3.36. Гармоники и субгармоники. Дан гармонический осциллятор с частотой
собственных колебаний v0=10 гц и очень большим временем релаксации. Если
на осциллятор действует гармоническая сила с частотой 10 гц, то амплитуда
колебаний осциллятора станет большой, т. е. он будет резонировать с
частотой возбуждающей силы. Никакая другая гармоническая сила не сможет
вызвать колебаний со столь большой амплитудой. (Очевидно, нужно
сравнивать силы одинаковой величины, но разной частоты.)
а) Докажите это утверждение. Предположим далее, что осциллятор подвержен
действию силы, которая представляет собой повторяющиеся с периодом 1 сек
прямоугольные импульсы длительностью 0,01 сек.
б) Опишите качественно результаты фурье-анализа повторяющихся
прямоугольных импульсов.
в) Будет ли гармонический осциллятор резонировать (т. е. приобретать
большую амплитуду) под действием этой внешней силы?
г) Положим, что внешняя сила имеет вид таких же импульсов (длительностью
0,01 сек), но с периодом 0,5 сек. Будет ли осциллятор резонировать?
Ответьте на тот же вопрос, если скорость повторения импульсов равна 3, 4,
5, 6, 7, 8 я 9 сек.
д) Теперь перейдем к новым явлениям. Что произойдет, если действовать на
осциллятор импульсами с частотой повторения 20 гц? Будет ли осциллятор
резонировать? Обратите внимание, что частота осциллятора в этом случае
является субгармоникой основной частоты повторения вынуждающих импульсов.
е) Рассмотрите случай, когда частота повторения импульсов внешней силы
кратна 3, 4 и т. д. собственным частотам осциллятора. Будет ли осциллятор
резонировать? Объясните, что будет происходить.
ж) Теперь опять несколько новых явлений. Предположим, что внешняя сила
действует на осциллятор только в те моменты времени, когда'его смещения
от положения равновесия положительны. Так происходит, например, когда вы
раскачиваете качели. Рассмотрите вопрос о возбуждении субгармоник для
этого случая. Предположим, что качели колеблются с частотой 1 гц. Если вы
будете производить толчки с частотой 2 гц (независимо от того, где
находятся качели, т. е. часть толчков может быть сделана впустую), будут
ли качели резонировать? Тот же вопрос для частоты 3 и 3,5 гц. Теперь
объясните, почему высокочастотные колебания мотора самолета могут
возбудить резонанс на значительно более низких частотах, которые являются
субгармониками возмущающей частоты, т. е. составляют V2, х/3 и т. д. от
этой частоты. Считаете ли вы, что возбуждение субгармоник - обычное
явление для вибрирующих систем? Объясните.
148
ГЛАВА 4
БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ
4.1. Введение
В главах 1-3 были рассмотрены замкнутые системы, т. е. системы,
заключенные в определенные границы, причем энергия системы локализована в
этих границах. Было показано, что свободные колебания замкнутой системы
