Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
условие ц(1 - р) < 1/27. Задача об их устойчивости в смысле определения
Ляпунова оказалась значительно
48
§ 5. Некоторые задачи небесной механики
сложнее. С помощью теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-
периодических движений, различными авторами установлено, что треугольные
точки либрации устойчивы при всех р (удовлетворяющих условию устойчивости
в линейном приближении), кроме двух значений: р\ - 0,0242938... и цг =
0,013560... Если р = Pi (цг)) то частоты линейных колебаний находятся в
резонансе 1 : 2 (1 : 3). А. П. Маркеев [122] доказал неустойчивость в
смысле Ляпунова треугольных точек либрации при этих исключительных
значениях параметра.
Можно рассматривать более общую плоскую круговую ограниченную задачу п
тел: п - 1 массивных тел совершают круговое равномерное вращение вокруг
их общего центра масс, а n-е тело пренебрежимо малой массы движется в
плоскости орбит массивных тел в их гравитационном поле. При п > 3 полное
описание точек либрации в ограниченной задаче п тел - интересная
нерешенная алгебраическая задача.
Уравнения ограниченной задачи п тел являются гамильтоновой системой с
гироскопическими силами (в смысле определения п. 8 § 1), причем форма
гироскопических сил совпадает с 2-формой обычной площади dx A dy.
3. Рассмотрим еще один вариант ограниченной задачи трех тел, в котором
две точки одинаковой массы описывают эллиптические орбиты в плоскости
х,у, симметричные относительно оси z, а третья точка нулевой массы все
время остается на оси z (пылинка в поле двойной звезды, рис. 5). Движение
последней описывается дифференциальным уравнением
Z = -z\z
+ r2(t)}
-3/2
(5.3)
где расстояние г от массивной точки до оси z находится по фор-
Р / \
муле конического сечения г = ------------------ lp,e = const), а угол
1 + е cos <р
как функция времени находится из известных формул Кеплера
tg2 =
1 + е и . _з/9
ter -, и - е sin u = nt, п = р л/ .
1 -е 6 2'
При е = 0 уравнение (5.3) становится автономным и поэтому просто
интегрируется в квадратурах.
49
Глава I. Гамильтонова механика
§ 6. Системы взаимодействующих частиц
1. Пусть п частиц единичной массы расположены на прямой в точках
xi,..., хп и взаимодействуют друг с другом с потенциалом парного
взаимодействия /. Их динамика описывается гамильтоновой системой с
функцией Гамильтона
Обычно считается, что потенциал / является четной функцией.
Часто рассматриваются одномерные решетки (цепочки), в которых частицы, их
образующие, взаимодействуют только с ближайшими соседями. Динамика
"замкнутой" цепочки описывается гамильтонианом
В этих случаях потенциал / не всегда предполагается четным.
Кроме интеграла энергии, системы с гамильтонианами (6.1)-
(6.3) имеют интеграл импульса Р = у,-, поэтому они вполне
интегрируемы при п ^ 2. При п = 3 системы (6.1) и (6.2) тождественны.
Ниже указаны наиболее популярные примеры систем взаимодействующих частиц.
2. Цепочка частиц, последовательно соединенных упругими пружинами с
коэффициентом упругости х, описывается уравнениями Гамильтона
с функцией Гамильтона (6.3), причем потенциал задается известной формулой
Гука f(z) = xz2/2. В этом случае уравнения (6.4) линейны, поэтому они
просто интегрируются. Нормальные моды колебаний взаимно независимы, и
обмена энергии между этими модами не происходит.
Ферми, Паста и Улам [164] численно изучали задачу о перераспределении
энергии между модами в нелинейных цепочках с потенциалами
(6.1)
i=1 i=l
а "разомкнутой" цепочки - гамильтонианом
П П-1
(6.3)
(6.4)
а, а' = const . (6.5)
50
§ 6. Системы взаимодействующих частиц
Ожидавшегося перехода к равнораспределению энергии (естественного с точки
зрения статистической механики) не произошло: перераспределяется лишь
самая малая часть энергии.
3. Разместим теперь п точек на единичной окружности и снова соединим их
последовательно упругими пружинами с коэффициентом упругости х. Если z -
угол между соседними точками, то f(z) = 2xs'm2(z/2) = х(1 - cos z).
Потенциал определен с точностью до аддитивной постоянной, поэтому можно
положить f(z) = -xcosz. Пусть Xi - угловые координаты точек. Тогда будем
иметь уравнения движения (6.4) с функцией Гамильтона замкнутой цепочки
(6.2) и потенциалом f(z) = -xcosz.
4. Полагая в (6.1) f(z) = cos z, придем к известной в теоретической
физике системе Гросс - Невё. Соответствующее стационарное уравнение
Шрёдингера удалось решить при некоторых значениях энергии.
5. Положим в (6.1) f(z) = a/\z\a (а,а = const). Случай а = 1, а < 0
отвечает гравитационному взаимодействию.
Пусть I = X)- момент инерции системы относительно точки х = 0. Тогда
/ = ^2 ^2 Xii^j = 2^х,хг + 2^]i-= 4Г - 2 . (6.6)
Поскольку V - однородная функция степени однородности (-а),
3V
то по формуле Эйлера У'ж,--- = -aV. Полагая h = Т + V, из
ОХ{
(6.6) получим формулу Лагранжа I = 4h + 2(а - 2)V. Если а = 2, то из этой
формулы получим момент инерции системы частиц:
I(t) = 2ht2 + (3t + 7 ; /?,7 = const . (6.7)
Таким образом, при h < 0 частицы обязательно столкнутся, а при h > 0 они
