Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
<а> = (1 Д-o/.r), Л =:а/4 (1 + 6),+1/Х/а •
Если здесь еще вернуться от х к получим уравнение в оконча-
тельном виде:
1й+6
- 1 0= -
(27)
Его интеграл записывается так:
k \
М-б]'
, dv k= - .
(28)
Решение удобно выразить в параметрическом виде, если исходить из определения -sv. Пределами изменения s будут
l + b^s^s 1. Тогда
-1 / л \ 1/6-1
е^СГМУ-г
i 6
= 1 --
1 4- &) 183
(s- 1)
-i/a
?9)
Выражение для плотности частиц получается через тот же параметр s, так как
п~и + й/( 1+6). (30)
Таким образом, произведение пе: = п^-g остается постоян-ным, что выражает просто сохранение числа частиц. Это требование заключено в самом уравнении, связывающем р иг. Наоборот, крайний релятивистский случай этого требования в себе не заключает, так что произведение гУ-g не остается постоянным и е обращается в бесконечность сильнее, чем У-g в нуль.
В качестве начала отсчета времени удобно выбрать точку 5=1 + 6, где плотность частиц бесконечна. Вблизи этой точки имеем
При произвольных значениях 6 нельзя, конечно, перейти от / к -t (хотя, например, при 6 = 2/з можно). Но когда плотность частиц стремится к бесконечности, уравнение состояния переходит в е=3/7, которое снова допускает переход по времени через нуль.
В заключение приносим сердечную благодарность за весьма ценные обсуждения Я. Б. Зельдовичу, Е. М. Лифшицу, И. Д, Новикову и И. М. Халатникову.
1. Е. М. Лифшиц, И. М. Халатников. ЖЭТФ, I960, 39, 149, 800.
2. Е. М. Лифшиц, В. В. Судаков, И. М. Халатиков. ЖЭТФ, 1961, 40, 1847.
3. В, М. Лифшиц, И. М. Халатников. УФН, 1963, S0, 391.
4. А. Л. Зельманов. Труды 6-го совещания по вопросам космогония. М., Изт-во
АН СССР, 1959, стр.'144.
5. ?. Schucking, О. Heckman. 8-ше Conscil physique, Bruxelles, 1958, 349.
(31)
Литература
Раздел III КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
О НАХОЖДЕНИИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ОБЕРТОНОВ МНОГОАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ*
Хорошо известно, что представление о гармоническом характере сил, действующих между ядрами многоатомной молекулы, отвечает фактам весьма неточным образом. Поэтому колебательные спектры молекул содержат не один лишь собственные частоты колебаний, которые только и разрешены в гармонических колебательных системах, но также обертоны и комбинационные частоты, Ангармонизм нарушает, таким образом, запрет, налагаемый на переходы квазиупругим характером сил; справедливыми только остаются те запреты, которые вытекают из симметрии молекул.
Для того чтобы выяснить, разрешен ли данный переход, надо определить, по каким представлениям группы симметрии молекулы преобразуются волновые функции начального и конечного состояний. Известно, что волновая функция основного состояния преобразуется по единичному представлению, а функция первого возбужденного состояния преобразуется по тому же неприводимому представлению, что и соответствующая нормальная координата. Это следует из того, что первый полином Эрми-та пропорционален координате. Функция с более высоким квантовым числом преобразуется, вообще говоря, уже по некоторому приводимому представлению группы. Зная характер этого представления, его можно разложить по характерам неприводимых представлений и найти тем самым данное представление.
В том случае, когда нормальное колебание не вырождено, характер представления для волновой функции с квантовым числом v лается простой формулой, принадлежащей Тиссе [I, 2]:
to - (Xi)y.
Там же приводятся рекуррентные формулы для случаев, когда
* ЖЭТФ, 1940, 10, вып. 1/.
185
координата дву- и трехкратно вырождена;
Z0(R)=1/aIXi(R)3Ccr,l(/?) -(двукратное вырождение), (1)
Ъ (R) = Vs [2Х1 (/?) х0_1 (R) (R)f -Ь
+ V2Va (Л) Xj (/?2) Н- Xt (/?")] (трехкратное вырождение).
(2)
Здесь i? -элемент группы симметрии молекулы, Rz, -его
степени,
= 0; Xq - 1.
В настоящей заметке указываются формулы, определяющие Х" в замкнутом виде. При этом волновая функция находится в предположении о квазиупругих силах, так как энгармонизм, имеющий симметрию молекулы, не изменяет представления, по которому преобразуется функция.
Рассмотрим сначала случай трехкратного вырождения. Пусть qu q2 и q$-соответствующие нормальные координаты. В потенциальной энергии молекулы им отвечает член U= = 1/2<д2(д12 + *72* + <7з2)* Положим t/=l/ao)V и напишем уравнение Шредингера выбранного колебания в полярных коорди-натах:
Г* dr dr fz h*\ 2 } у w
Здесь I означает азимутальное квантовое число. Обозначая
со 2Е л , /
- г =Л\ -=Х, ф = '
а затем переходя к у^хг, приводим (3) к виду
о. (4)
dy dy 4 у 4 4
(4) представляет собой известное уравнение для нахождения собственных функций водородного атома; оно имеет решение, только если
I~ Н;1/2 Г1 4 2 '
где /? - целое неотрицательное число. Отсюда
Eb - hco(2p + l + 9U) =hv{v + z/2)> (5)
Здесь 3/2Лсо - нулевая энергия пространственного осциллятора. Кратность уровня Ev равна 2(2/+1) по всем значениям /. которые меняются через две единицы от 1 до v или от 0 до v в за-
186
висимости от четности v. Иначе, кратность- lh(v + 1) (v-f-2). Каждому / отвечает определенная функция
Найдем сначала характер представления, по которому преобразуется i)v Надо заметить, что координаты qu q2y q3 по отношению к преобразованиям группы симметрии данной молекулы не обязательно ведут себя, как декартовы координаты х, у, г. Пусть группа симметрии молекулы Н изоморфна в смысле теории абстрактных групп другой группе симметрии G. Тогда им будут отвечать одни и те же непроводимые представления. Но координаты q в группе Н могут преобразовываться, как х, у, z по отношению к группе G. Так, группы О и Td изоморфны. Они имеют два трехмерных представления, из которых одно отвечает преобразованию хуг в группе О, а другое - преобразованию хуг в группе 7Y Таблицу простых характеров точечных групп можно найти в статье Розенталь и Мерфи [2, с. 334}. Из этой таблицы легко усмотреть, по отношению к какой группе симметрии q±q^^s ведут себя как декартовы координаты. После того как это выяснено, нетрудно пайти т. с. характер преобразования В самом деле, он равен характеру преобразования /-й шаровой функции Yi. Если операция не связана с отражением, а представляет чистый поворот, то sin(/4- V2)<p/sin ср/2, где
