Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Литература
L W. Pauli. Ann. Physik, 1933, '18t 305. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифгаиц. Теория
поля, 1-е изд. №.- Л., ГИТТЛ, 1941, § 100.
2, A, Wheeler. Ann. Phys., 1957, 2, 525.
3. Л. Дг Ландау, Е. Af. Лифшиц, Механика сплошных сред. М., ГИТТЛ, 1953, стр, 453.
4. А. С, Компанеец. ЖЭТФ, 1958, 34, 953; см. наст, изд., стр. 169.
5, A. Einstein, N, Rosen, J. Franklin Inst., 1937, 223, 43.
& P. Курант, К- Фридрихе. Ударные полны и сверхлвукопые течения. М., ИЛ, 1950.
7h A. Wheeler. Phys. Rev., 1955, 97, 1511.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ГРАВИТАЦИИ В ОДНОРОДНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ МОДЕЛИ*
Совместно с А, С. Черновым
Вопросу о характере особой точки при t-0 в решении гравитационных уравнений Эйнштейна посвящена обширная литература [1-4]. В 'настоящей работе показано, что модель с однородным распределением материи, но с анизотропной метрикой обладает иной особенностью по времени, чем однородная изотропная модель Фридмаиа- Леметра.
Мы будем искать зависящие только от времени смешанные компоненты тензора энергии-импульса в сопутствующей син-
4 ЖЭТФ, 1964, 47, вып. 5(11).
177
хронной системе, для которой метрическая форма имеет следующий вид:
ds3 =* df-?v(r' - cyi {r- t}dz*, (J)
Иначе говоря, от координаты г вообще ничего не зависит. Дальнейшие вычисления показывают, что в этих предположениях действительно существует сопутствующая синхронная система отсчета.
Трехзначковые символы Кристоффеля равны (r=xt) ф=д:2, г=-Хз, t^=xA):
Ги-v'A H, = (r)72, It, = |"72, rj^v/2, Ц,= а/2,
Гм= 1V2, Гп = evv/2, rJ, = /W2, Г133 = е^/2,
Г', = - e"-V/2, Г', = е^ц72.
Остальные символы Кристоффеля при сделанных предположениях обращаются в нуль. Штрих означает djdr, точка нал буквой djdt.
Смешанные компоненты 7У в сопутствующей системе отсчета рав'ны 7У = 7У = 7У=/>, 7\4=-в, остальные компоненты обращаются в нуль. Тогда из уравнений Эйнштейна
-726*Г) (2)
остаются следующие независимые пять (8лк положено в дальнейшем равным единице):
? - Р = 1412v -t-v (v -co-rfx)]-V2e~v[2 (ш" ri-О -г
+ "/' -f р"-v' (ш' -ц')], (2а)
е-p = V2[2ce + (r) (vto +|i)l-'1/4e-v[2co"4-cu' (- v' + ш' 4-ц')1,
(26)
e-p = V2 [2f* +M (v + co - ^3-,/s""v[21a" + ii' (-v'-Jr
(2b)
- (e -3/>) = V212 (v + (i* -f a) - f [t2 + ш2)], (2r)
"V2(m'4-iii') = 74v (to' -ц') - V4(ft>'w 4-(x'.n) =s 0. (2д)
Последнее уравнение выражает условие солутствия.
Левые части уравнений (2а)-(2г) зависят по условию только от времени. Правые части можно сделать зависящими тоже только от временя, допустив, что v-v(t), ц = Тогда (2д) приобретает форму
(c)'¦.= v">72 -ш'со/2. (3)
Общий интеграл этого уравнения есть
e,0'*~=ev'*h(r) 'rF(t). (4)
178
Но мы полагаем, что ф -угловая координата. Поэтому, чтобы линяя г=0 це была особой, надо потребовать е"<с, ,)=0. Отсюда следует fi(0)=0. Из (4) получаем тогда co=v. Если
подставить это в систему (2а) - (2г), то уравнение (26) будет просто повторять (2а) и в дальнейшем может быть опущено.
Для нахождения h(r) достаточно только (2а), в которое h(r) входит следующим образом: e_tv+to>/?ft/jr(r). Это выражение должно зависеть только от времени. Подставляя в него e~taf2 из (4), с учетов того, что F(t) = 0, находим уравнение для h(r):
h" (r)/ft (г) = const = ± а2. (5)
Отсюда следует что имеется три типа решений: h = shar (модель, открытая по г), Л = г (модель, квазиэвклндовская по г), h-$inar (модель, закрытая по г). Рассмотрим сначала второй случай как наиболее простой. Система уравнений (2а), (2в), (2г) переписывается так:
2 (&-р) = 2v -г 2va -j- цу, (ба)
2 (е-р) =* 2|х 4- 2]ху -f|Д (66)
-2,(6 +3/?) - 4v -f (А3. (бв)
Рассмотрим два предельных случая: р=0 (пылевидная материя) и ? = 3/7 (ультрарелятивистский газ). Для пылевой материи находим (несущественные масштабные постоянные опускаем)
?v = t\ (7)
e"*=rv*(f-Л)\ (8)
e = 4/3f(*-А). (9)
Это - частный случай более общего решения, найденного Шю~ кингом и Гекманом [5]. Именно: записывая метрическую форму б виде
= rf/*- 2
эти авторы получают
- ^V*U+2sEn[v+2Jr(?,-i)/3]} ^_^у/а{1-а8т[У+аяЯ-1)/зП
Подставляя сюда y-n/Gt приходим к (7) - (9). Этот последний случай в некотором смысле выделен, так как решение Шюкнига и Гскмана при произвольном у непродолжаемо за точку t = A, поскольку множитель t-А стоит в метрических коэффициентах с иррациональным показателем.
Любопытно тем не менее, что точка t-A является особой и в решении (7) - (9), но в несколько ином смысле, чем п более
179
общем решении, где уфл/б- Из метрической формы особенность устраняется полностью, если перейти к новым координатам
т=(/-A)chz1 ? - (t-A)shz.
Тогда dt2-(t-Aydz2 переходит б чисто галилеевское выражение йтг~Но произведение еУ-g при t-A меняет знак. Возможно, здесь проявляется то общее свойство теории относительности, что энергия в ней не положительно определена, и переход через t=A отвечает замене т на - т. Этот пункт остается для нас не совсем ясным. Заметим, что в противоположном крайнем случае, когда е = 3р, решения с положительными и отрицательными энергиями строго разграничены и не переходят одно в другое.
Что касается неквазиевклидовских решений при пылевой материи, то здесь положение не изменяется существенным образом по сравнению с уже указанным. Именно: после некоторых вычислений получается (аь>0)
