Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
оо
< = 2С \ (Г)
"' I !г (1 + Ё)
О-V/* * V ^ "
ет = (1 + Се-^)'и (l+C, f ----------*t_\, (8')
' Jvn ^ +
в - ~ (1 ¦ f- Се~у/г)^г (1 + Cj J
\ r*-v
dl
("')
И здесь произведение s]/~g изменяет знак в некоторой точке.
При очень больших значениях t расширение оказывается равномерным во все стороны. Поэтому при экстраполяции нынешнего состояния вселенной на более ранние стадии не следует упускать из виду, что в этих ранних стадиях анизотропные решения ведут себя иначе, чем изотропные.
Рассмотрим теперь квазиевклидовское анизотропное решение при г = 3р. Система основных уравнений приобретает вид
4/3е =2v-^2v2 + v|a, (10а)
4/3e=2fi,+2 [(106)
- 4е\=; 4v + 2[i |-2v гЦ2* (Юв)
Образуя разность из уравнений (10в) - (106)-4(10а), получаем с точностью до несущественной постоянной
|i= - 6ln V -5v. (11)
180
Далее, исключаем \i и е, находим 2 v v - 8v2- 7vv3 - 3v4 - О.
(12)
Первый интеграл (12) имеет вид
(v/v2+ I)4 (v/v2 4-3/4 )_3= -Су. (13)
Чтобы выяснить характер особенности вблизи /=0, надо положить v/v2^>l, что дает
v = (ЗС20"'/з- (14)
Сама величина v равна при малых t:
v=(30vV2C;/a. (15)
Отсюда согласно (11)<
ji-ln iK (16)
По уравнению (10а) определяем плотность энергии
е=(С#/Г4/'. (17)
На первый взгляд может показаться, что особенность метрической формы здесь можно в первом приближении устранить тем же способом, как и у пылевой материи при t = A, т. с. путем преобразования т-tchzt ?=/sbz. Но разложение метрических коэффициентов идет по дробным степеням ?, а ь выражение кривизны входят производные до второго порядка включительно. Эти производные обращаются при (=0 в бесконечность. Из-за
этого становится бесконечным и произведение eV-g*.
В отличие от фридм айовского решения, где отрицательные t
не имеют смысла (в формулы входит полученное здесь решение можно брать и при /<С0. Найденная нами особенность по типу подобна точке заострения циклоиды. Можно видеть, что
(13) имеет и решения другого типа. Так, существует разложе-
ние dy-^dt вблизи точки а/*- Но для этого решения произведение еУ-g обращается в нуль как t4i, иначе говоря, плотность материи стремится к нулю.
* Как указано Е. Лифшнцем и И. Халатпнковым [3],в синхронной сопутствующей системе геодезическими являются линии времени, в результате чего пылевая материя может сгуститься до бесконечной плотности просто потому, что отдельные частицы, не отталкиваясь друг от друга, сойдутся в одну точку. В ультрарелятивистском газе этому могло бы воспрепятствовать давление, отклоняющее движение частиц от геодезических линий. Но в настоящей задаче взят случай не зависящего от координат давления, так что градиент давления равен нулю. Следовательно, ист и силы, уподящей частицы газа с геодезических линий.
181
Переходам теперь к общему случаю е = 3рг Заменяя
t на tjа, получаем уравнение для v:
12vv- 48va-42vv2- 18v* ± 28ve~v ±2We~v ~4e-3V = 0, (18)
Здесь верхние знаки отвечают модели, открытой по г, нижние - закрытой модели. Делая замену
v ^ е~у?*и (v), dufdv = q (и), (19)
приходим к уравнению первого порядка
12tPqdqfdu - 36q'U2 - 18qus-Зи4 ± 28ди ± 7а3 - 4 - 0. (20)
В этих переменных искомые функции равны:
Отметим теперь следующее важное обстоятельство. Уравнение I-и2-4^и = 0 есть особый интеграл (20). Как видно из (21b), это решение разграничивает область с положительными и отрицательными е, так что переход через е=0 здесь невозможен. Точка t=0 соответствует w-оо, q=o° в правом нижнем квадранте плоскости (q, и), где уравнение (20) отвечает уже исследованному выше квазиевклидовскому случаю. Поэтому и здесь общее, неквазиевклидовское решение имеет качественно такую же зависимость от времени, как и в случае пылевой материи.
Рассмотрим теперь промежуточный случай, когда вещество обладает отличным от нуля давлением, но плотность кинетической энергии еще много меньше плотности энергии покоя. Будем считать, что вещество совершает изэнтропический процесс. Тогда плотность энергии и давление выражаются через плотность частиц следующим образом:
е = пт + р = 66л1+б. (22)
При 6 = 2/3 имеем случай одноатомного газа. С этим значением констант это одновременно к случай холодного ферми-газа. Уравнения интегрируются в квадратурах при произвольном значении б.
Вычтем (66) из (6а), чтобы исключить члены, относящиеся к веществу. Получившееся уравнение допускает первый интеграл
(216)
(21а)
(21 в) (21г)
(23)
182
Из уравнений (66) и (6в) выразим теперь отдельно п и п1 и составим из них уравнение
2v -j-2u "4-v2 + vji,-|-h? = ¦-Ь212 (1 -5) v + 2 (1 -f б)ц +
+(i +за) v|i+(i -6) v2+(i + ь) }л2Г5,
(24)
где смысл постоянной очевиден. В дальнейшем удобно ввести новую неизвестную
t^v + ji/2, (25)
так что г1-У-g.
Заменяя теперь ji через ?, перепишем (24), одновременно нонизив его порядок путем подстановок:
? = (о, Се~* = я, v = х/3 (2{о + х),
v = -V3tt> (2*d<o/d'A; -г л').
Приводим уравнение (24) к виду 8 dw , 4
3 ' 3
"ш I ** л ,дт2 т
- wx-------------------------\- - wz -\г - = -
3
8 . -------ШХ---------U
(26)
Дальнейшее понижение порядка достигается путем подстановки
