Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
173
говорят в пользу того, что современная классическая теория поля не нуждается в дальнейшем совершенствовании.
Рассмотрим теперь распространение волны. Будем исходить из метрики вида [4]
- d$* - A dx\ + Cdx\ + 2 Bdx2dx$ Ddx%- Adxl, (1)
считая коэффициенты A, В, С, D функциями только от xt и хк (этого достаточно для исследования характеристик). Уравнения Максвелла для контрвариантных составляющих электромагнитного поля имеют вид
±{F^y-g)= 0, (2а)
дх4
jL {Fn y--g) г JL (f М Y~g) - о, (26)
дхх дх4
± (ря y=g) JL (Я* /=*) = 0, <2в)
&**! дд*
g) = 0. (2г)
Из уравнений (2а) и (2г) видим, что FLi = 0, так что поле можно считать чисто поперечным. Тогда для компонент тензора энергии-импульса получим
Ги = Г44 = 1/2 (F 13Fj -r F^Flr F^ + F^F]). (3)
Поэтому
rj -¦= - Tl (4)
откуда следует, что и
T\=-Tl (5)
так как 77 = 0.
Запишем теперь уравнения Эйнштейна для компонент свернутого тензора кривизны R22, Я<ш Rw (ср. [4]). Единицы измерения электромагнитного поля выберем такими, чтобы уравнения гравитации имели вид {индекс при С, Dt В, а озна-
чает дифференцирование по xit х4):
Сп + (2а)-1 [Clttl-C4a4+2C (В?-= 2Л7Ч*
D41-Du+(2ap Аа^04а4+20 {Bl^Gfi^C^BD^AT^
B"-Bu ^ (2а)-1 iB^-B^-f 2В (В?-СА4-СА"В<Л=2ЛГ23
(a-CD-В-). (6)
Умножим первое из этих уравнений на D, второе-на С, третье - на-2В и сложим. Учитывая, что g2Z = Da~\ g33-Ca~l9
174
?23=?а~\ получим справа 7У4-7У-0, согласно (5). Слева, как было Доказано в [4], будем иметь
Из уравнений для компонент Ru> Rn и Яи получается [4]
Здесь ?==1пЛй. Значки 44 и 14 при Т - тензорные.
Докажем теперь совместимость уравнений (9) и (10). Для этого вычислим, прежде всего, разность
Пользуясь значениями символов Кристоффеля и (4), получим
Подставляя вторые производные В, С, D из (б), убеждаемся в том, что (9) и (10) непротиворечивы. Таким образом, выбранная нами метрика (1) совместима с предположением о попе-речности электромагнитного поля.
Найдем теперь характеристики волновых уравнений электромагнитного поля. Для этого запишем уравнения Максвелла в смешанных компонентах Fh\ К уравнениям (26, в) надо добавить еще первую пару, вытекающую из того, что FUK=Ai%h~Ак/.
(7)
В качестве решения наиболее удобно выбрать (см. [5]) а''-= [СО~&у- = ху.
(8)
-; S;-CA-C4D4) =: х,Тш L4- (2х4) 1 (2SjB4 - СА-C4Dj) = хлТи.
(9)
(Ю)
Согласно уравнению = Q выражение (11) равно
что iB свою очередь приводится к виду
(2 (Т^С4 - j ТззD4-2 .
(13)
Составляя но общему правилу характеристический определитель (см. [6]), получим
1 -А, О О
О 0 1 - к
Ск -С Вк -В Вк -В Dk -D
Следовательно, он имеет двойные корки Х=±1, т. е. и в искривленном пространстве 'малые электромагнитные дополнительные возмущения распространяются с фундаментальной скоростью. Для гравитационных возмущений, распространяющихся в пространстве с метрикой (1), то же было показано в [4]. Здесь показа,на совместимость обоих утверждений. Таким образом, распространение сколь угодно сильной электромагнитной "волны в пространстве в классической теории не может повести к нарушению римановаюого характера метрики.
Можно сделать еще замечание относительно решений, обладающих звклидовской метрикой на бесконечности. Там, где метрика эвклидовская, электромагнитное поле может быть только таким, каким оно получается из обычных уравнений Максвелла, без учета общей теории относительности. Но это ноле связано фиксированными прямолинейными характеристиками с областями пространства, имеющими неэвклидову метрику. Поэтому поле в искривленных областях пространства не может качественно отличаться от того, что получилось бы в эвклидовом пространстве. Иначе говоря нет оснований утверждать, что в общей теории относительности возникают такие новые решения уравнений электродинамики, которые не имеют эвклидовых аналогов.
Поэтому вряд ли существуют так называемые геоны, пред-положенные Уилером [7], как точные 'несингулярные решения уравнений правитатии и электромагнетизма, в которых электромагнитное поле само себя удерживает в конечном объеме гравитационными силами (поле в конечном объеме, находящееся в тепловом равновесии, быть !Может и способно >себя удерживать, но это 'соответствует приближенным решениям), По тем же причинам можно усомниться и в другом предсказании Уилера [2], что наличие или отсутствие зарядов объясняется топологической связанностью пространства. Продолжая прямые характеристики из бесконечности в леэвклидовскую область, нельзя ожидать, что при этом изменится топологическая связность. Оба указанные здесь вьщода о "геонах" и "топологических зарядах" обнаруживаются и при аналитическом исследовании уравнений 1.
1 Например, потенциал цилиндрической волны равен Ф = |2 th ['/2 Л) (&*2) * ¦еоь (?лч)] в соответствии с его обычным выражением фо = /о (&*i) cos (kx4).
= а (1-X*)a = 0. (15)
176
Разумеется, это относится только к избранному здесь случаю решений, зависящих от двух переменных (xt и или *t и х2, которой алгебраически весьма сходен, хотя и приводит к эллиптическим уравнениям). Что будет, -когда решения зависят более чей от двух переменных, надо еще исследовать. Против существования трехмерных "геонов" говорит следующее соображение. Как .известно, двухмерная потенциальная яма способна удержать 'связанную частицу в квантовой "механике всегда, а трехмерная- не всегда. Иначе говоря, .волновое уравнение с переменными коэффициентами имеет экспоненциально затухающее на бесконечности решение в двух измерениях, агогда аналогичное уравнение в трех измерениях такого решения не имеет. Но >мы видим, что 'подобное уравнение в теории гравитации не имеет затухающего решения и в двух измерениях. Поэтому есть основание думать, что трехмерного решения такого типа тем более нет.
